第六章、数值微分与数值积分 数值微分 1、差商型求导公式 由导数定义f(x)=lim f(x+h-f(x) h→>0 h (1)向前差商公式 ∫(x)≈f(x+h)-f(x) h 2)向后差商公式 B f(x f(x)-f(x-h h (3)中心差商公式(中点方法) X-h th (x)≈f(x+h)-f(x-h) 2h
第六章、数值微分与数值积分 数 值 微 分 ' 0 1 ( ) ( ) ( ) limh f x h f x f x → h + − = 、差商型求导公式 由导数定义 ' ' ' 1 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 2 f x h f x f x h f x f x h f x h f x h f x h f x h + − − − + − − （）向前差商公式 （ ）向后差商公式 （ ）中心差商公式 （中点方法 ） x-h x x+h B C A T f(x)
差商型求导公式的余项 由 Taylor公式 f厂(x)-f(x+h)-f(x) f(x+0h h=och) h f(x) f(x-f(x-h) f(x-02h) h=och) h f(x)f(x+h)-f(x-h 2h f3(x+h)+f(3(x-b2h),2 h2=O(h2) 0<O1,0<1 从截断误差的角度看,步长越小,计算结果越准确; 从舍入误差的角度来看,步长不宜太小
差商型求导公式的余项 " ' 1 " ' 2 ' (3) (3) 1 2 2 2 1 2 Taylor ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 6 0 , 1 f x h f x f x h f x h O h h f x f x h f x h f x h O h h f x h f x h f x h f x h f x h h O h + − + − = − = − − − − = = + − − − + + − = − = 由 公式 从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确； 从舍入误差的角度来看，步长不宜太小
2、插值型求导公式 若已知函数f(x)在[a,b]n+1个节点(x,f(x) (=0,1,…,n),可用其插值多项式P(x)的导数近 似函数f(x)的导数 由Rn(x)=f(x)-P(x)」(+( (n+1 →f(x)-Pn(x) an+I(x)+n+(x)d (n+1) (5) (n+1) (n+1)!ax 对任意x∈{a,b,因未知,故上式很难估计误差, 但若只求某个节点上的导数值,误差可估计 (n+1 f(x,)-P2(x)= n (n+1) (n+1)! II(x-x) 因此,插值型求导公式通常用于求节点处导数的近似值
2、插值型求导公式 ( ) [ , ] 1 ( , ( )) ( 0,1, , ) ( ) i i f x a b n x f x i n f x + = n 若已知函数 在 内 个节点 ，可用其插值多项式P (x)的导数近 似函数 的导数。 ( 1) 1 ( 1) ' ' ' ( 1) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)! ( 1)! n n n n n n n n n f R x f x P x x n f d x f x P x x f n n dx + + + + + + = − = + − = + + + 由 ( 1) ( 1) ' ' ' 1 0 [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)! ( 1)! n n n n i n i i i j j j i x a b f f f x P x x x x n n + + + = − = = − + + 对任意 ，因 未知，故上式很难估计误差， 但若只求某个节点上的导数值，误差可估计。 因此，插值型求导公式通常用于求节点处导数的近似值
两点公式 设给出两节点(x,f(x0),(x1,f(x1)记x1-x0=h 有 B1(x) f(x1) →B(x)=[-f(x)+f(x) →(x)=1[(x1)-/(x), (x1)=,[f(x1)-f(x)] 带余项的两点公式是: f(x0)=[f(x1)-f(x)f(与1) 几 2 f(x1)=[f(x1)-f(x)+f(2)
两 点 公 式 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 ' 1 0 1 ( , ( )),( , ( )), ( ) ( ) ( ). 1 ( ) [ ( ) ( )] x f x x f x x x h x x x x P x f x f x x x x x P x f x f x h − = − − = + − − = − + 设给出两节点 记 有 ' 1 0 1 0 ' 1 1 1 0 ' " 0 1 0 1 ' " 1 1 0 2 1 ( ) [ ( ) ( )], 1 ( ) [ ( ) ( )] 1 ( ) [ ( ) ( )] ( ), 2 1 ( ) [ ( ) ( )] ( ). 2 P x f x f x h P x f x f x h h f x f x f x f h h f x f x f x f h = − = − = − − = − + ； 带余项的两点公式是：
三点公式 设已给出三个节点x,x1=x0+h,x2=x+2h上的 函数值 x-x(x-x P2(x) f(x0) (x-x1)(x-x2) (x-x0)(x-x2) f(x1)+ (x-x0)(x-x1) f∫(x2) (x2-x0(x2-x1 令x=x0+hn,则 P2(x0+th)=(t-1)(t-2)f(x0)-1(-2)f(x1) +=(t-1)f(x2)2
三 点 公 式 0 1 0 2 0 1 2 2 0 0 1 0 2 0 2 0 1 1 2 1 0 1 2 2 0 2 1 0 2 0 0 1 2 , , 2 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ), ( )( ) ( )( ) , 1 ( ) ( 1)( 2) ( ) ( 2) ( ) 2 1 ( 1) ( 2 x x x h x x h x x x x P x f x x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x th P x th t t f x t t f x t t f x = + = + − − = − − − − − − + + − − − − = + + = − − − − + − 设已给出三个节点 上的 函数值 令 则 )