第七讲泰勒( Taylo)级数 罗朗( Lauren级数
第七讲 泰勒(Taylor)级数 罗朗(Laurent)级数
§43泰勒( Taylor)级数 m1.泰勒展开定狸 口2.展开式的唯一性 m3.简单初等函敝的泰勒展开式
1. 泰勒展开定理 2. 展开式的唯一性 3. 简单初等函数的泰勒展开式 §4.3 泰勒(Taylor)级数
1.泰勒(por)展开定理 由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数。 C会会A会会会会公 现在研究与此相反的问题: 个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数?解析函 数在解析点能否用幂级数表示?) 以下定理给出了肯定回答: 任何解析函数都一定能用幂级数表示
1. 泰勒(Taylor)展开定理 现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函 数在解析点能否用幂级数表示？） 由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数。 以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示
定理(泰勒展开定理) 设f(z)在区域D内解析,z∈D,R为z到D的边界 上各点的最短距离→当z-z0<R时, f(x)=2cn(z-n)”( f(=)在=0处 n=0 的 aylor级数 其中:cn=fm(x)n=0,1,2, 多D 分析:Cn=f(z0) f(5)d n 2ni ks-zoy k k 代入(1)得
定理（泰勒展开定理） ( ) 0,1,2, ! 1 : ( ) ( ) (1) , ( ) , , 0 ( ) 0 0 0 0 0 = = = − − = f z n n c f z c z z z z R f z D z D R z D n n n n n 其 中 上各点的最短距离 当 时 设 在区域 内解析 为 到 的边界 的 级数 在 处 Taylor f z z0 ( ) D k 0 z ( ) k z r d z f i f z n c k n n n − = − = = + 0 1 0 0 ( ) : ( ) 2 1 ( ) ! 1 分析： 代入(1)得
∑cn(z-a)=∑ 0 0 1rf(5) D ∑ 2=0(2uisk(5-zo ∽0 ∫(5) k 27 ∑5m4(-xy) n=0 又(x)=15n) 2ni k5 -z 比较1)2)有,()=f(5) 5-xa(4-4)(-zn)”(
D k 0 z ( ) (*) ( ) ( ) ( ) 1),2) 0 0 1 0 n n n z z z f z f − − = − = + 比 较 有 ， 2) ( ) 2 1 ( ) − = k d z f i f z 又 ( ) 1) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ! ( ) ( ) 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 − − = − − = − = − = + = + + = = k n n n n n k n n n n n n n z z d z f i d z z z f i z z n f z c z z z