第五讲原函数与不定积分 Cauchy积分公式 解析函数的高阶导数
第五讲 原函数与不定积分 Cauchy积分公式 解析函数的高阶导数
§34原函数与不定积分 口1.原函数与不定积分的概念 们2.积分针算公式
1. 原函数与不定积分的概念 2. 积分计算公式 §3.4 原函数与不定积分
1.原函数与不定积分的概念 由§2基本定理的推论知:设f(z)在单连通区 域B内解析,则对B中任意曲线C,积分+fhz与路 径无关,只与起点和终点有关 当起点固定在,终点在B内变动+f(x 在B内就定义了一个变上限的单值函数,记作 F(z)=f(s)d(1) 定理设f(z)在单连通区域B内解析,则F(l在 B内解析,且F()=f(x)
1. 原函数与不定积分的概念 由§2基本定理的推论知：设f (z)在单连通区 域B内解析，则对B中任意曲线C, 积分+c fdz与路 径无关，只与起点和终点有关。 当起点固定在z0 , 终点z在B内变动,+c f (z)dz 在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作 = z z F z f d 0 ( ) ( ) (1) 定理 设f (z)在单连通区域B内解析，则F(z)在 B内解析，且 F'(z) = f (z)
定义若函数p()在区域B内的导数等于f(x),即 g'(z)=f(z),称g(z)为f(在B内的原函数 上面定理表明F(z)=f(5)d是/(的一个 原函数。 设H(x)与G(z是f(z)的任何两个原函数, IG(z)-H(z)=G"(z)-H'(x)=f(z)-f(x)=0 G(z)-H(z)=c,(c为任意常数 况见第二章§2例3) 这表明:f()的任何两个原函数相差一个常数。 会A会会会会会会会会会会会会会会会会会A会A会会会会会会会会会会A会会会A会会会A会A会会会会会会会会会会A会会会会会会会会会A
定义 若函数 (z) 在区域B内的导数等于f (z) ，即 '(z) = f (z) ,称 (z)为f (z)在B内的原函数. = z z F z f d 0 上面定理表明 ( ) ( ) 是f (z)的一个 原函数。 设H (z)与G(z)是f (z)的任何两个原函数， ( ) ( ) , ( ) [ ( ) ( )]' '( ) '( ) ( ) ( ) 0 G z H z c c为任意常数 G z H z G z H z f z f z − = − = − = − = 这表明：f (z)的任何两个原函数相差一个常数。 (见第二章§2例3)
定义设F()是f(x)的一个原函数,称F(x)+c(c为 任意常数)为f(z的不定积分,记作 ∫f(ahk=F()+c 2.积分针算公式 定理设f(x)在单连通区域B内解析,F(x)是f() 的一个原函数,则 f(z)du=F(1)-F(Zo(Vzo, 1 E B 此公式类似于微积分学中的牛顿-莱布尼兹公式 但是要求函数是解析的比以前的连续条件要强
f (z)dz = F(z)+ c 2. 积分计算公式 定义 设F(z)是f (z)的一个原函数，称F(z)+c(c为 任意常数)为f (z)的不定积分，记作 定理 设f (z)在单连通区域B内解析， F(z)是f (z) 的一个原函数，则 ( ) ( ) ( ) ( , ) 1 0 0 1 1 0 f z dz F z F z z z B z z = − 此公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式. 但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强