上面定理说明: D内解析函数的虚部是郊部的共轭调和函数 即,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析→ 在D内v(x,y)必为=(x,y)共轭调和函数 由解析的概念得: 在D内满足C一R方程:2=v,uy=一v的两个 调和函数,v,y必为u的共轭调和函数 现在研究反过来的问题:若u,"是任意选取的在 区域D内的两个调和函数则u+i在D内就不 一定解析
上面定理说明： D内解析函数的虚部是实部的共轭调和函数. ( , ) ( , ) . , ( ) ( , ) ( , ) 在 内 必 为 的共轭调和函数 即 在 内解析 D v x y u u x y f z u x y i v x y D = = + 由解析的概念得： , , . : , 调和函数 必 为 的共轭调和函数 在 内满足 方 程 的两个 u v v u D C R u v u v − x = y y = − x . , , 一定解析 区 域 内的两个调和函数则 在 内就不 若 是任意选取的在 D u i v D u v + 现在研究反过来的问题：
如v=x+y不是n=x+y的共轭调和函数 (∵∫(z)=u+i=(x+y)+i(x+y)在z平面上 处处不解析=1=vnu1=1≠-v) 要想使u+i在D内解析,u及v还必须满足C-R 方程,即ν必须是n的共轭调和涵数由此, 已知一个解析函数的部a(x,y),利用C-R方 (虚部(x,y) 程可求得它的虚部(x,y),从而构成解析函数 L+L1。 (实部(x,y)
如 v = x + y不是u = x + y的共轭调和函数. 1 1 ) ( ) ( ) ( ) x y y x u v u v f z u i v x y i x y z = = = − = + = + + + 处处不解析 （ 在 平面上 方程，即 必须是 的共轭调和函数由此， 要想使 在 内解析 及 还必须满足 . , v u u + i v D u v C − R . ( , ), ( , ), u i v v x y u x y C R + − 程可求得它的虚部 从而构成解析函数 已知一个解析函数的实部 利 用 方 (虚部v(x, y)) (实部u(x, y))
设D一单连通区域u(x,y)是区域D内的调和 ou au 函数则,+ 0 ax a 2 即,-如n、如在D内有连续一阶偏导数 y or 6 且 av a axax av av 彐p =-hx+ ax ay 中=dv(x,p) Oy ax x, y) au v(x,y) d x ou dv+C (*) 0y0 ax
, 0 , ( , ) 2 2 2 2 = + y u x u D u x y D 函 数 则 设 一单连通区域 是区域 内的调和 即 、 在D内有连续一阶偏导数 x u y u , − dy x u dx y u dy y v dx x v x u y x u y + = − + = − 且 ( ) ( ) dv(x, y) v = ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 0 0 + + = − dy c x u dx y u v x y x y x y
au au av 0 ux 满足C-R方程 ax ay ay u+iv在D内解析. 定理设u(x,y)在单连通D内调和函数 则(*)式所确定的v(x,y)使得 f(z)=u+i在D内解析
. . 在 内解析 满 足 方 程 u i v D C R x u y v y u x v + − = = − ( ) . ( ) ( , ), ( , ) , 在 内解析 则 式所确定的 使 得 设 在单连通 内调和函数 f z u i v D v x y u x y D = + 定理
公式不用强记!可如下推出 已知:u(x,y),求其共轭调和函数(x,y): 0p.C-R方程 由ly= dx+ dy ax J 然后两端积分。 0p.C-R方程Ou 由du=axay dx+dy ax 类似地,然后两端积分得
公式不用强记！可如下推出： dy x v dx y v dy y v dx x v du C R − = + = − 方 程 由 然后两端积分。 由 已知： 求其共轭调和函数 方 程 dy u dx u dy y v dx x v dv u x y v x y y x C R = − + + = − ( , ), ( , ): 类似地， 然后两端积分得