§4正交多项式 若首项系数an≠0的n次多项式 0n(x),满足 ≠k (29)=.p(x),(x)(x)dx Ak>0 j=k, (2k=O,12…) 就称多项式序列o,1,…O,在 [a,b上带权p(x)正交,并称9,(x)是 [a,b]上带权(x)的n次正交多项式。 构造正交多项式的格拉姆一施密 特(Gram- Schmidt)方法 定理:按以下方式定义的多项 式集合{,q,9是区间[a,b上关
§4 正交多项式 若首项系数 0 n a 的 n 次多项式 ( ) n x ，满足 = = = 0 ; 0, , ( , ) ( ) ( ) ( )d A j k j k x x x x k j k b a j k ( , 0,1, ) j k = 就称多项式序列 0 1 , , , n ，在 [ , ] a b 上带权 ( ) x 正交，并称 ( ) n x 是 [ , ] a b 上带权 ( ) x 的 n 次正交多项式。 构造正交多项式的格拉姆－施密 特（Gram-Schmidt）方法 定理：按以下方式定义的多项 式集合 0 1 { , , , } n 是区间 [ , ] a b 上关
于权函数P(x)≥0的正交函数族 Po(r)=l 02(x) X-a 0(x)=(x-ak)k1(x)-Bqk=2(x) 其中 b xPk-1, pk P(x)xok-() b 0(x)(k-1(x)x (k=1,2,3 b p(x)21(x) b k-257k-2 ()ok,(x)dx (k=2,3
于权函数 ( ) 0 x 的正交函数族。 0 ( ) 1 x = 1 1 ( )x x = − 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k x x x x = − − − − ( 2,3, , ) k n = 其中 2 1 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) b k k k a k b k k k a x x x dx x x x dx − − − − − − = = ( 1, 2,3, , ) k n = 2 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) b k k k a k b k k k a x x dx x x dx − − − − − − = = ( 2,3, , ) k n =
证明可用归纳法,略。 例:求f(x)= Sin zx在[0,1]上 的二次最佳平方逼近多项式。 解:构造正交多项式 (x)=1 00 (n,0)1ax2 P, (x)=x-a=x 2 (xo,, )Jo xXU 2 2 0 (q121) 「(x-2)2ax (0,9o) 12
证明可用归纳法，略。 例：求 f x x ( ) sin = 在［0，1］上 的二次最佳平方逼近多项式。 解： 构造正交多项式 0 ( ) 1 x = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 ( , ) 1 ( , ) 2 1 xdx x dx = = = 1 1 1 ( ) 2 x x x = − = − 1 2 0 1 1 2 1 2 1 1 0 1 ( ) ( , ) 1 2 ( , ) 2 1 ( ) 2 x x dx x x dx − = = = − 1 2 0 1 1 2 1 0 0 0 1 ( ) ( , ) 1 2 ( , ) 12 1 x dx dx − = = =
02(x)=(x-a2)01(x)-B290(x)=(x-) x 于是 (q,)=1dx=1 12 (g292)=(x2-x+2)2dx 180 (,Po)=Isin zxdx p1)=L(x-osin xdx=0 ( 22)=L(x2-x+3)sin z xdx 丌2-12 3丌 故f(x)=sn丌x在[0,1]上的二次 最佳平方逼近多项式为 0(x) 0(x) (f,91) 02(x) (f,92) 02(x)≈ (0,90) (1,2) (02,2)
2 2 2 2 1 2 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 12 6 x x x x x x x = − − = − − = − + 于 是 1 0 0 0 ( , ) 1 1 = = dx 1 2 1 1 0 1 1 ( , ) ( ) 2 12 = − = x dx 1 2 2 2 2 0 1 1 ( , ) ( ) 6 180 = − + = x x dx 1 0 0 2 ( , ) sin f xdx = = 1 1 0 1 ( , ) ( ) sin 0 2 f x xdx = − = 2 1 2 2 3 0 1 12 ( , ) ( )sin 6 3 f x x xdx − = − + = 故 f x x ( ) sin = 在［0,1］上的二次 最佳平方逼近多项式为 0 1 2 2 0 1 2 0 0 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4.1225 4.1225 0.05047 ( , ) ( , ) ( , ) f f f x x x x x x = + + − + −
4-1勒让德多项式 当区间为[-1,1],权函数 p(x)=1时,由{x…,x,…}正交 化得到的多项式就称为勒让德 ( Legendre)多项式,并用 0(x),(x)…Pn(x)…表示。 1(x)=1,P(x) 2ma{(x2-1”} (n=1,2,3,…)2 P(x)是n次多项式,对其n次 求导后得 (2n)(2n-1)…(m+1)x”+an1x-+…+ 2 n! 首项x的系数
4-1 勒让德多项式 当区间为［－1,1］，权函数 ( ) 1 x 时，由 {1, , , , } n x x 正交 化 得到的 多项 式就称 为勒让 德 (Legendre) 多 项 式 ， 并 用 0 1 ( ), ( ), , ( ), P x P x P x n 表示。 2 0 1 ( ) 1, ( ) {( 1) } 2 ! n n n n n d P x P x x n dx = = − ( 1, 2,3, ), n = ( ) P x n 是 n 次多项式，对其 n 次 求导后得 1 1 0 1 ( ) (2 )(2 1) ( 1) 2 ! n n n n n P x n n n x a x a n − = − + + + + − 首 项 n x 的系数