第五章函数逼近 与计算 §1引言与预备知识 1.问题的提出 用插值的方法对这一函数进 行近似,要求所得到的插值多项式 经过已知的这n+1个插值节点 在n比较大的情况下,插值多项式 往往是高次多项式,这也就容易出 现振荡现象(龙格现象),即虽然 在插值节点上没有误差,但在插值 节点之外插值误差变得很大,从 “整体”上看,插值逼近效果将变 得“很差”。于是,我们采用函数逼 近的方法
第五章 函数逼近 与计算 §1 引言与预备知识 1.问题的提出 用插值的方法对这一函数进 行近似,要求所得到的插值多项式 经过已知的这 n＋1 个插值节点; 在 n 比较大的情况下,插值多项式 往往是高次多项式,这也就容易出 现振荡现象（龙格现象），即虽然 在插值节点上没有误差,但在插值 节点之外插值误差变得很大,从 “整体”上看,插值逼近效果将变 得“很差”。于是,我们采用函数逼 近的方法
所谓函数逼近是求一个简单 的函数 P(x) ,例如P( x) 是一个低次多项式,不要求 y=P(x) 通过已知的这n+1个 点,而是要求在整体上“尽量好” 的逼近原函数。这时,在每个已知 点上就会有误差 ∫(xk)-P(xk) k=0,l,2 313-’,函数逼近就是 从整体上使误差 f(rk)-P(xk)k=0, 1, 2,, n 尽 量的小一些
所谓函数逼近是求一个简单 的函数 y P x = ( ) ,例如 P x( ) 是 一 个 低 次 多 项 式 , 不 要 求 y P x = ( ) 通过已知的这 n＋1 个 点,而是要求在整体上“尽量好” 的逼近原函数。这时,在每个已知 点 上 就 会 有 误 差 ( ) ( ) k k f x P x − , k 0 1 2 n = , , , , ,函数逼近就是 从 整 体 上 使 误 差 ( ) ( ) k k f x P x − , k 0 1 2 n = , , , , 尽 量的小一些
2数学描述 “对函数类A中给定的函 数f(x),要求在另一类较简单的 便于计算的函数类B中,求函数 P(x)∈B∈A,使P(x)与f(x)之差 在某种度量意义下最小。” 函数类A通常是区间[a,b] 上的连续函数,记作Ca,b;函 数类B通常是代数多项式,分式有 理函数或三角多项式。 区间a,b上的所有实连续函 数组成一个空间,记作C[ab f∈C[a,b的范数定义为 fll=maxf(x)
2.数学描述 “对函数类 A 中给定的函 数 f (x) ，要求在另一类较简单的 便于计算的函数类 B 中，求函数 P(x) B A ，使 P(x) 与 f (x) 之差 在某种度量意义下最小。” 函数类 A 通常是区间 [a,b] 上的连续函数，记作 C[a,b] ；函 数类 B 通常是代数多项式，分式有 理函数或三角多项式。 区间 [a,b] 上的所有实连续函 数组成一个空间，记作 C[a,b] 。 f C[a,b] 的范数定义为 f max f (x) axb =
称其为○一范数,它满足范数 ‖的三个性质: ‖f≥0,当且仅当∫=0时 才有=0 II) 对任意 f∈C|a,b]成立,c为任意实数 ⅢI)对任意,8∈Ca,b],有 f+|≤|f1+|g II式称为三角不等式。 度量标准最常用的有两种, 种是 f(x) -P(x)=max f(x)-p() a<x≤
称其为 —范数，它满足范数 的三个性质： I） f 0 ，当且仅当 f 0 时 才有 f = 0 ； II ） af = a f 对任意 f C[a,b] 成立， a 为任意实数； III）对任意 f , g C[a,b] ，有 f g f g + + . III 式称为三角不等式。 度量标准最常用的有两种，一 种是 ( ) ( ) max ( ) ( ) . a x b f x P x f x P x − = −
在这种度量意义下的函数逼近称 为一致逼近或均匀逼近; 另一种度量标准是 I(x)-P(x)>=aUf(x)-P(x)dx 用这种度量的函数逼近称为均方 逼近或平方逼近这里符号及 2是范数。本章主要研究在这两 种度量标准下用代数多项式 Pn(x)逼近f(x)∈C[a,b] 3维尔斯特拉斯定理 用P(x)一致逼近f(x),首先
在这种度量意义下的函数逼近称 为一致逼近或均匀逼近； 另一种度量标准是 f x P x f x P x x b a ( ) ( ) [ ( ) ( )] d 2 2 − = − . 用这种度量的函数逼近称为均方 逼近或平方逼近。这里符号 及 2 是范数。本章主要研究在这两 种度量标准下用代数多项式 P (x) n 逼近 f (x) C[a,b] 。 3.维尔斯特拉斯定理 用 P (x) n 一致逼近 f (x) ，首先