第七章方程求根 求解非线性方程 f(x)=0 f是非线性函数, 例:代数方程 f(x)=anx tax ++ax +a=o, n>lo 例超越方程 f( x=o+sinx=0 e
第七章 方程求根 1 1 1 0 ( ) 0 ( ) 0, 1 : ( ) sin 0 n n n n x f x f f x n f x x a x a x a x a e − − = = + + + + = = + = 求解非线性方程 是非线性函数， 例：代数方程 。 例 超越方程
§1.非线性方程实根的对分法(二分法) 设f(x)在[a,b]上连续且[a,b有且仅有一个根又 f(a)·f(b)<0。则可用对分法 不妨设f(a)<0,f(b)>0 atb =0输出根x=xb a+b D,若f ,否则:若 <0 2’b=b反之h,a+b atb 令a 5)P区国重道D即斗其王[P 3若+b|=0,则得到根x=+b 2 2
( ) [ , ] [ , ] ( ) ( ) 0 ( ) 0, ( ) 0 f x a b a b f a f b f a f b 设 在 上连续且 有且仅有一个根又 。则可用对分法： 不妨设 , . 2 2 0 2 , 2 0 2 1 , 1 1 1 a1 a a b b b b a b a a b f a b x a b f = + = = + = + + = = + 令 ， 反之 ）若 输出根 否则：若 ， 2 ),对[ a1 ,b1 ]区间重复1）的计算，并产生 [a2 ,b2 ] , . 2 0 2 3), a b x a b f i i i + i + 若 ，则得到根 §1. 非线性方程实根的对分法(二分法)
二分法的收敛性 f(x) 二分法产生一个有根区间: ab]a1blb…lanb, a b b la,b,区间长度: b-a 2 (6m--a (b-a) 当n足够大时,取近似值斯<2+b 误差:1x-x b-a 2 n+1 <8 计算简便,容易估计误差,但收敛较慢
二分法的收敛性 1 1 [ , ] [ , ] [ , ] n n a b a b a b 二分法产生一个有根区间： 1 1 [ , ] 1 1 ( ) ( ) 2 2 n n n n n n n b a a b b a b a − − − = − = = − 区间长度： 当 足够大时，取近似值 ， 2 a b x n n n n + = 1 2 n n b a x x + − 误差： − 计算简便，容易估计误差，但收敛较慢。 a x * x0 b f x( ) a1 b1
§2.迭代法 改写方程:f(x)=0台x=q(x)且φ连续 建立迭代格式:xn1=(x),得到序列{xn 则若{}收敛必收敛到f(x=0的根: limxmI-lim(x )=l limx 若{x}收敛,即 limx=x,则: x=(x)→f(x)=0
§2. 迭代法 改写方程： f (x) = 0 x =(x)且 连续。 x x { x } n n n ( ) 建立迭代格式： +1 = ，得到序列 1 { } ( 0 ( ) lim lim lim n n n n n n n x f x x x x + → → → = = = 则 若 收敛必收敛到 ） 的根： * * * * { } ( ) ( ) 0 n n lim n x x x f x x x → = = = 若 收敛，即 ，则：
迭代过程的几何表示 y=(x) x=(x)今 交点即为真根 X=y y=x y=(x)
迭代过程的几何表示 y x = ( ) y x = O x* x2 x1 x0 x y P0 Q1 P1 P2 * P Q2 ( ) ( ) y x x x x y = = = 交点即为真根