§5曲线拟合的最小 二乘法 一般的最小二乘逼近(曲线拟合 的最小二乘法)的一般提法是:对 给定的一组数据(x,y)(=0 要求在函数类9={9…,n中找 一个函数y=S(x),使误差平方和 6l2=∑62=∑S'(x)-y=mi∑[Sx)-y )∈q 其 中 S(x)=a90(x)+a11(x)+…+an,n(x)(n<m) 带权的最小二乘法:
§5 曲线拟合的最小 二乘法 一般的最小二乘逼近(曲线拟合 的最小二乘法)的一般提法是:对 给定的一组数据 ( , ) ( 0,1, , ) i i x y i m = , 要求在函数类 0 1 { , , , } = n 中找 一个函数 * y S x = ( ) ,使误差平方和 2 2 * 2 2 2 ( ) 0 0 1 [ ( ) ] min [ ( ) ] m m m i i i i i S x i i i S x y S x y = = = = = − = − 其 中 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n S x a x a x a x n m = + + + 带权的最小二乘法：
2=∑o(xS(x,)-f(x) i=0 其中0(x)20是Lab7上的权函数。 用最小二乘法求曲线拟合的问 题,就是在S(x)中求一函数 y=S(x),使|2取的最小。它转化 为求多元函数 (an,a…a)=∑mx)∑a9(x)-(x 的极小点(,…,叫n)问题。由求 多元函数极值的必要条件,有 =2∑0(x)∑a(x)-f(x)(x)= i=0
2 2 2 0 ( )[ ( ) ( )] m i i i i x S x f x = = − 其中 ( ) 0 x 是［a, b］上的权函数。 用最小二乘法求曲线拟合的问 题 ， 就 是 在 S x( ) 中 求 一 函 数 * y S x = ( ) ，使 2 2 取的最小。它转化 为求多元函数 2 0 1 0 0 ( , , , ) ( )[ ( ) ( )] m n n i j j i i i j I a a a x a x f x = = = − 的极小点 * * * 0 1 ( , , , ) a a an 问题。由求 多元函数极值的必要条件，有 0 0 2 ( )[ ( ) ( )] ( ) 0 m n i j j i i k i k i j I x a x f x x a = = = − =
(k=0, 若 (,k)=∑o(x)(x)k(x) (k=0,1 则上式可改写为 ∑(9k,q1)a1=dk (k=0 这个方程称为法方程,矩阵形式 Ge
(k = 0, 1, , n) 若 记 0 ( , ) ( ) ( ) ( ) m j k i j i k i i x x x = = 0 ( , ) ( ) ( ) ( ) m k i i k i k i f x f x x d = = (k = 0, 1, , n) 则上式可改写为 0 ( , ) n k j j k j a d = = (k = 0, 1, , n) 这个方程称为法方程，矩阵形式 Ga d =
其 中 1 0:1 (q0,90)(0,q1) (0,9n) (q2)(,1)…(0129n) (n,90)(0n,1)…(n-12n) 由于9卯,…卯,线性无关,故 ≠0,方程组存在唯一解 ak=ak(k=0,1,…,H) 从而得到函数f(x)的最小二乘解为 S(x=aoPo(x)+a,9(x)+.+a,o(x) 可 证 ∑o(x)S(x)-f(x)2≤∑o(x)S(x)-f(x)
其 中 0 1 0 1 ( , , , ) , ( , , , ) T T n n a a a a d d d d = = ， 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n G − = 由 于 0 1 , , , n 线 性 无 关 ， 故 G 0 ，方程组存在唯一解 * ( 0,1, , ), a a k n k k = = 从而得到函数 f x( ) 的最小二乘解为 * * * * 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n S x a x a x a x = + + + 可 证 * 2 2 0 0 ( )[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( )] m m i i i i i i i i x S x f x x S x f x = = − −
故S(x)使所求最小二乘解。 例8已知一组实验数据,求它的拟 合曲线。 45 4 363 88.5 解:根据所给数据知,可选择线 性函数作拟合曲线 令S(x)=a+a1x,这里 m=4,n=1,(x)=1,q(x)=x 故
故 * S x( ) 使所求最小二乘解。 例8 已知一组实验数据,求它的拟 合曲线。 xi 1 2 3 4 5 i f 4 4. 5 6 8 8.5 i 2 1 3 1 1 解：根据所给数据知，可选择线 性函数作拟合曲线。 令 1 0 1 S x a a x ( ) = + ， 这里 0 1 m n x x x = = = = 4, 1, ( ) 1, ( ) , 故