第十讲 唯一决定分式线性映射的条件
第十讲 唯一决定分式线性映射的条件
§3唯一决定分式线性映射的条件 口1.分式线性哄射的存在唯一性 m2.举例
1. 分式线性映射的存在唯一性 2. 举例 §3 唯一决定分式线性映射的条件
1分式线性映射的存在唯一性 虽然=B+b含有,,m个常数实际只 cz+d 有三个是独立的 所以只需给定三个条件就能决定一个分式 线性映射我们有: 定理在z平面上任意给定三个样异的点1,2,3 在w平面上也任意给定三异的点w1,w2,wy3 →存在唯一的分式线性时f(z): f:z->v(k=1,3)
. , , , , 有三个是独立的 虽 然 含 有a b c d四个常数 实际只 cz d az b w + + = , : , , 线性映射 我们有 所 以 只需给定三个条件就能决定一个分式 : ( 1,2,3) ( ): , , , , , 1 2 3 1 2 3 ⎯→ = f z w k f z w w w w z z z z k f k 存在唯一的分式线性映射 在 平面上也任意给定三个相异的点 定理 在 平面上任意给定三个相异的点 1. 分式线性映射的存在唯一性
证明袭、m+b 國+(d-b≠0将x2(k=123)依次 →>wA(k=12,3,即wk= 1+b k=1,2,3) Cz +d k 而有 (z-乙 儿(a bc) (C+d)(Cz +d) (k=1,2) (z3 -zk(ad-bc) (k=1,2) (Cz3+d)(czk+d) w-w, (z- ad=bc)(cik )(,+d)i-Z(cz,+d) -"2(axw)cx+d)(z-x2)am-bk)z-2(cx+l
( 1,2,3), ( 1,2,3) ( 0), ( 1,2,3) = + + → = = − = + + = k cz d az b w k w ad bc z k cz d az b w k k k k k 即 证明 设 将 依 次 ,( 1,2) ( )( ) ( )( ) = + + − − − = k cz d cz d z z ad bc w w k k 因而有 k ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 cz d cz d z z z z z z ad bc cz d cz d cz d cz d z z ad bc w w w w + + − − = − − + + + + − − = − − ,( 1,2) ( )( ) ( )( ) 3 3 3 = + + − − − = k cz d cz d z z ad bc w w k k k
同理-3-3 (Cz2+d) 2(c1+d) 所求分式线性映射 故 v-形M W,z-孔13 W-WW3-W1-2) ④式(1)是三对点所确定的唯一的一个映射。 ②点 19 22 943 由(D>点w 且等式两边依次同时变为,∞ ③式(1)左端的式子通常称为个点 w,w1,w2,w3的交比cros-rtio) 因此,式(1)说明分式线性映射具有保交比不变性
(1) 3 1 3 2 2 1 3 1 3 2 2 1 − − − − − − = − − − − z z z z z z z z w w w w w w w w 故 3 2 3 1 3 2 3 1 z z z z w w w w − − = − − 同理 ( ) ( ) 1 2 cz d cz d + + ① 式(1)是三对点所确定的唯一的一个映射。 0, ,1. , , 1 2 3 (1) 1 2 3 ⎯ ⎯→ 等式两边依次同时变为 由 且 ② 点 z z z 点w ，w ，w , , , ( ). (1) 1 2 3 w w w w 的交比 cross − ratio ③式 左端的式子通常称为四个 点 ~~~~~~~~~~~~ 所求分式线性映射 因此，式(1)说明分式线性映射具有保交比不变性