数值计算方 法 开课单位:数学 系 张敏洪(数学系) mh zha ang agscasaccn 考试方式:闭卷。作业占20% 30%,卷面70%-80%。 讲义、作业及答案可下载。 主要参考书: 1.丁丽娟等,《数值计算方法》,北京理 工大学,1998 2.李庆扬等,《数值分析》,华中理工大 学出版社,武汉,1994。 3.施妙根等,《科学和工程计算基础》, 清华大学出版社出版,北京,1999 4.关治,陆金甫,《数值分析基础》, 高等教育出版社,北京,1998
数 值 计 算 方 法 开课单位：数学 系 张敏洪（数学系） mh_zhang@gscas.ac.cn 考试方式：闭卷。 作业占 20％― 30％，卷面 70％―80％。 讲义、作业及答案可下载。 主要参考书： 1.丁丽娟等，《数值计算方法》，北京理 工大学，1998。 2.李庆扬等，《数值分析》，华中理工大 学出版社，武汉，1994。 3. 施妙根等，《科学和工程计算基础》， 清华大学出版社出版，北京，1999。 4. 关治，陆金甫，《数值分析基础》， 高等教育出版社，北京，1998
数值计算 方法 Chap1绪论 sI数值计算方法研究的对象与特点 数值计算方法:研究适合计算机 进行科学计算的方法。 使用计算机、 离散。 解决科学技术和工程问题的步骤: 实际问题→建立数学模型→研究计 算方法少 编 程上机计算→求的结果。 例如:(1)某一地区的地形图,用空 中航测方法空中连续拍照。 (2)为形成三维地形图,建立 了一个大型超定线性方程组。 (3)采用最小二乘方法求解该 方程组的最小二乘解,然后
数 值 计 算 方 法 Chap.1 绪论 §1 数值计算方法研究的对象与特点 数值计算方法：研究适合计算机 进行科学计算的方法。 使用计算机、 离散。 解决科学技术和工程问题的步骤: 实际问题➔建立数学模型➔研究计 算方法➔ 编 程上机计算➔求的结果。 例如:⑴ 某一地区的地形图,用空 中航测方法,空中连续拍照。 ⑵ 为形成三维地形图,建立 了一个大型超定线性方程组。 ⑶ 采用最小二乘方法求解该 方程组的最小二乘解,然后
再整体平滑。 (4)编程序,形成一个大型程 序,上机进行计算 数值计算方法课的主要基础与内 容 计算机只能进行加减乘除四则运算 和一些简单的函数计算 1.数值代数:求解线性方程组的解法 (分直接方法和间接方法),求矩阵 的特征值与特征向量。 2.数值逼近:插值和数值逼近,数值 微分和数值积分。 3.方程求解:非线性方程、常微分方 程、偏微分方程数值解法。 特点: 1.面向计算机。 2.有可靠的理论分析(收敛性、稳 定性、误差分析) 3.要有好的计算复杂性(时间、空 间)
再整体平滑。 ⑷ 编程序,形成一个大型程 序,上机进行计算。 数值计算方法课的主要基础与内 容: 计算机只能进行加减乘除四则运算 和一些简单的函数计算 1. 数值代数:求解线性方程组的解法 （分直接方法和间接方法），求矩阵 的特征值与特征向量。 2. 数值逼近：插值和数值逼近，数值 微分和数值积分。 3. 方程求解：非线性方程、常微分方 程、偏微分方程数值解法。 特点： 1． 面向计算机。 2． 有可靠的理论分析（收敛性、稳 定性、误差分析）。 3． 要有好的计算复杂性（时间、空 间）
4.要有数值试验。 对算法所要考虑的问题: 计算速度。例如,求解一个20阶 线性方程组,用消元法需3000次乘 法运算;而用克莱姆法则要进行 97×10次运算,如用每秒1亿次乘 法运算的计算机要30万年。 2.存储量。大型问题有必要考虑。 3.数值稳定性。在大量计算中,舍入 误差是积累还是能控制,这与算法有 关。 §2误差的来源与误差分析的重要 性 误差的来源与种类 实际问题→建立数学模型→研究计 算方法少 编 程上机计算→求的结果
4． 要有数值试验。 对算法所要考虑的问题: 1. 计算速度。 例如,求解一个 20 阶 线性方程组,用消元法需 3000 次乘 法运算;而用克莱姆法则要进行 20 9.7 10 次运算,如用每秒1亿次乘 法运算的计算机要 30 万年。 2.存储量。 大型问题有必要考虑。 3.数值稳定性。 在大量计算中,舍入 误差是积累还是能控制,这与算法有 关。 §2 误差的来源与误差分析的重要 性 误差的来源与种类 实际问题➔建立数学模型➔研究计 算方法➔ 编 程上机计算➔求的结果
1.模型误差:在建立数学模型过程 中,不可能将所有因素均考虑,必然 要进行必要的简化,这就带来了与 实际问题的误差 2.测量误差:测量已知参数时,数据 带来的误差。 3.截断误差:在设计算法时,必然要 近似处理,寻求一些简化。 例 4 6 (-1)”x2 COSX (2n)! 当|x很小时,可用 2作为cosx的近似值, 其截断误差小于24 例:对函数f(x)用 Taylor展开, 用多项式 P(x)=f(0)+ X 2
1. 模型误差: 在建立数学模型过程 中,不可能将所有因素均考虑,必然 要进行必要的简化,这就带来了与 实际问题的误差。 2. 测量误差: 测量已知参数时,数据 带来的误差。 3. 截断误差: 在设计算法时,必然要 近似处理,寻求一些简化。 例 ： + − = − + − + + (2 )! ( 1) 2 4! 6! cos 1 2 4 6 2 n x x x x x n n 当 x 很 小 时 ， 可 用 2 1 2 x − 作为 cos x 的近似值， 其截断误差小于 24 4 x 。 例： 对函数 f (x) 用 Taylor 展开， 用多项式 n n n x n f x f x f P x f ! (0) 2! (0) 1! (0) ( ) (0) ( ) 2 ' '' = + + ++