西安交通大学：《高等数学（复变函数）》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六讲 §3.7 解析函数与调和函数的关系 §4.1 复数项级数 §4.2 幂级数

第六讲 解析函数与调和函数的关系

第六讲 解析函数与调和函数的关系

§3.7解析函数与调和函数的关系 内容筲介 在§3.6我们证明了在D内的解析函数其导数 仍为解析函数所以解析函数有任意阶导数。本节 利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间 的关系

在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数 仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节 利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间 的关系。 内 容 简 介 §3.7 解析函数与调和函数的关系

定义若二元实变函数p(x,y)在D内具有二阶连 续偏导数且满足 aplace方程: 0g,02q=0 (△q=0) ax ay 则称p(x,y)为D内的调和函数 定理若f(x)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析 →u=(x,y),v=v(x,y)是D内的调和函数

( , ) . 0 0) : ( , ) 2 2 2 2 则 称 为 内的调和函数 即 （ 续偏导数且满足 方 程 若二元实变函数 在 内具有二阶连 x y D x y Laplace x y D      =  =   +   定义 ， 是 内的调和函数。 若 在区域 内解析 u u x y v v x y D f z u x y i v x y D ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )  = = 定理 = +

证明:设f(z)=u(xy)+iν(xy)在区域D内解析,则 ou ay au 由C-R方程 ax ay ay 从而有 ou ay au a ax axo 由解析函数高阶导数趙理里→l(x,y),v(x,y) 具有任意阶的连续导数 day ayax 故在D内有 0g20,同理有0"0y 02u02u 0 ax ay

证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则 x v y u y v x u C R   = −     =   由 − 方 程 x y v y u y x v x u    = −      =   2 2 2 2 2 2 从而有 y x v x y v u x y v x y    =      2 2 . ( , ), ( , ) 具有任意阶的连续导数 由解析函数高阶导数定理 D 0, 2 2 2 2 =   +   y u x u 故在 内有 0 2 2 2 2 =   +   y v x v 同理有

即及在D内满足拉普拉斯 laplace)方程: 020 △=0,Aν=0其中Δ≡2+A =u(x,y,v=v(x,y)是D内的调和函数 定义设u(x,y)为D内的调和函数称使得u+iv 在D内构成解析函数的调利函数v(x,y)为u(x,y) 的共轭调和函数

u = 0, v = 0 2 2 2 2 x y  +   其中  即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程: u = u(x, y)，v = v(x, y)是D内的调和函数。 . D ( , ) ( , ) ( , ) , 的共轭调和函数 在 内构成解析函数的调和函 数 为 设 为 内的调和函数称使得 v x y u x y 定义 u x y D u + i v