§6近似最佳一致逼 近多项式 由韦尔斯特拉斯定理知存在 最佳一致逼近多项式(伯恩斯坦多 项式) 一、截断切比雪夫级数 利用切比雪夫多项式良好的 逼近性质求近似最佳一致逼近多 项式 如果f(x)∈CL-11,按{(x 展成广义富利叶级数,由正交多项 式展开公式 f(x)~∑a8(x)→f(x)~∑ kk k=0
1 §6 近似最佳一致逼 近多项式 由韦尔斯特拉斯定理知存在 最佳一致逼近多项式（伯恩斯坦多 项式） 一、截断切比雪夫级数 利用切比雪夫多项式良好的 逼近性质求近似最佳一致逼近多 项式。 如果 f (x) C[−1,1] ，按 {T (x)} k 展成广义富利叶级数，由正交多项 式展开公式 0 0 ( ) ~ ( ) ( ) ~ ( ) k k k k k k f x a g x f x C T x = =
可得 f(x) 2 +∑ 此式称为函数f(x)在[-11上的切 比雪夫级数。 由 (k=0,1,…,n) 及 1≠m ,(x)Tm()dxI n=m≠0 丌,n=n=0 得 到 2 rI f(lk(x) -x2dx(k=01…)
2 可 得 f (x) ～ ( ). 2 * 1 * 0 C T x C k k k = + 此式称为函数 f (x) 在 [−1,1] 上的切 比雪夫级数。 由 * ( , ) ( 0, 1, , ) ( , ) k k k k f T C k n T T = = 及 1 1 2 0, ( ) ( ) , 0; 1 2 , 0. n m n m T x T x dx n m x n m − = = − = = 得 到 d ( 0,1, ). 1 2 ( ) ( ) 2 1 1 * = − = − x k x f x T x C k k
这里T(x)= cos(k arccos x,xs1 若令x=cos0,0≤0≤丌,则 f(x)~2+c7(x) 就是f(co)的富利叶级数,其中 =(okd(k=0.) 根据富利叶级数理论可知,只要 f"(x)在[-1]上分段连续,则f(x)的 切比雪夫级数一致收敛于f(x),从 f(x)=-0+∑Ck7k(x) 取它的部分和
3 这里 T (x) = cos(k arccos x), x 1 k 。 若令 x = cos , 0 ，则 f (x) ～ * 0 * 1 ( ) 2 k k k C C T x = + 就是 f (cos ) 的富利叶级数，其中 (cos ) cos d ( 0,1, ), 2 0 Ck * = f k k = 根据富利叶级数理论可知，只要 f (x) 在 [−1,1] 上分段连续，则 f (x) 的 切比雪夫级数一致收敛于 f (x) ，从 而 ( ), 2 ( ) * 1 * 0 C T x C f x k k k = = + 取它的部分和
其误差为 f(x)-Cn(x)≈Cn n+11n+1 由于Tn+有n+2个轮流为 正、负’的偏差点 k k coS n+1 k=0…,n+),所以 f(x)-Cn(x)近似地有n+2个偏差 点,由切比雪夫定理,Cn(x)可作为 f(x)在[-1,1上的近似最佳一致逼 近多项式,实际计算表明它与最佳 一致逼近多项式P(x)非常接近,而 计算较方便。 例:求f(x)=e在[-11上的切
4 ( ), 2 ( ) * 1 * * 0 C T x C C x k k n k n = = + 其误差为 * * 1 1 ( ) ( ) ( ). n n n f x C x C T x − + + 由 于 Tn+1 有 n + 2 个 轮 流 为 ‘ 正 、 负 ’ 的 偏 差 点 1 cos + = n k xk (k = 0,1, ,n +1) ，所以 ( ) ( ) * f x C x − n 近似地有 n + 2 个偏差 点，由切比雪夫定理， ( ) * C x n 可作为 f (x) 在 [−1,1] 上的近似最佳一致逼 近多项式，实际计算表明它与最佳 一致逼近多项式 ( ) * P x n 非常接近，而 计算较方便。 例: 求 x f (x) = e 在 [−1,1] 上的切
比雪夫展开。 解由富利叶级数系数公式得 coke de 丌 0 它可用后面介绍的数值积分方法 计算,得到 C0=2.53213176,C1=1.13031821, C2=0.27149534,C3=0.04433685, C;=0.00547424 0.00054293 由 2 ∑CT(x)及 k=1 7(x)的公式得到 C1(x)=1.266+1.130x, C(x)=0.994571+0997308x+0.542991x2+0.177
5 比雪夫展开。 解 由富利叶级数系数公式得 * cos 0 2 cos d C e k k = ， 它可用后面介绍的数值积分方法 计算，得到 2.53213176, 1.13031821, * 1 * C0 = C = 0.27149534, 0.04433685, * 3 * C2 = C = 0.00547424, 0.00054293. * 5 * C4 = C = 由 ( ), 2 ( ) * 1 * * 0 C T x C C x k k n k n = = + 及 T (x) k 的公式得到 ( ) 1.266 1.130 , * 1 C x = + x * 2 3 3 C x x x x ( ) 0.994571 0.997308 0.542991 0.177347 , = + + +