5.3拉普拉斯变换 一、案例 ■二、概念和公式的引坐 ■三、进一步的练习 click Here
5.3 拉普拉斯变换 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习
一、案例[自动控制] 在自动控制系统的分析和综合中,线性定 常系统由下面的n阶微分方程描述 dr y(o)+a dr -iy(0++an- dt y()+ an d d x()+b d"x(t)+…+b x(t)+bm,x(t) dt dt 如何求解此微分方程呢? 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回
一、案例 [自动控制] 在自动控制系统的分析和综合中，线性定 1 0 1 1 1 d d d ( ) ( ) ( ) ( ) d d d n n n n n n a y t a y t a y t a y t t t t − + + + + = − − 1 0 1 1 1 d d d ( ) ( ) ( ) ( ) d d d m m m m m m b x t b x t b x t b x t t t t − + + + + − − 如何求解此微分方程呢？ 常系统由下面的n阶微分方程描述
二、概念和公式的引出 拉氏变设函数(0的定义域为[0.∞),若反常积分 f(t)e"dt对于p在某范围内的值收敛则此积分 0 就确定了p的函数记作 F(p)=f(tepid 0 函数F(p称为f()的拉氏变换(或称为f()的象函数 函数f(称为F(p的原函数,以上公式简称为拉氏变 换式,用记号L(表示,即 F(p)=lf(t) 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回
二、 概念和公式的引出 拉氏变换 设函数f (t)的定义域为 [0,） ，若反常积分 0 ( ) dpt f t e t + − 对于p在某一范围内的值收敛,则此积分 0 ( ) ( ) dpt F p f t e t + − = 函数F(p)称为f (t)的拉氏变换(或称为f (t)的象函数， 函数f (t)称为F(p)的原函数，以上公式简称为拉氏变 换式，用记号L[f (t)]表示，即 就确定了p的函数,记作 F( p) = L[ f (t)]
说明 (1)定义中只要求在t≥0上f(4)有定义为了方便 假定0时,f()=0 (2拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成 个新的函数是一种积分变换,般地在科学技术中遇 到的函数它的拉氏变换总是存在的故以后不再对其 存在性进行讨论 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回
(2)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一 个新的函数,是一种积分变换,一般地在科学技术中遇 到的函数,它的拉氏变换总是存在的,故以后不再对其 存在性进行讨论． 假定t<0时, f (t) =0; 说明： (1)定义中,只要求在 t 0 上f (t)有定义,为了方便
]三、进一步的练习 练习1[次函数 求一次函数f()=at(a为常数)的拉氏变换 解当p>0时,有 Llat ( at\e-ptd=、ar+ DJo epr dt a-pt C 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回
三、进一步的练习 练习1 [一次函数] 求一次函数f (t) =at (a为常数)的拉氏变换. 解 当p>0时，有 0 [ ] ( ) dpt L at at e t + − = 2 0 a pt e p − − + = 2 a p = 0 d( ) a pt t e p + − = − 0 0 d at a pt pt e e t p p + − + − = − +