生第5章线性空间与线性变換 王5线性空间及其性质 、线性空间的定义 工工工 二、线性空间的性质 三、线性子空间 上页
5.1 线性空间及其性质 第5章 线性空间与线性变换 • 二、线性空间的性质 • 三、线性子空间 • 一、线性空间的定义
一线性空间的定义 一个鏃悬续簪能鹚量琶喬铃懸含雍产:也是 线性空间是为了解决实际问题而引入的,它是 某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际问题 看作向量空间,进而通过研究向量空间来解决实际 王问题 上页
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是 某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题 看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际 问题． 一、线性空间的定义
定义1设是一个非空集合,P是一数域.如果 对于任意两个元素a,B∈V,总有唯一的一个元 素y∈J与之对应,称为a与B的和,记作 r=a+ B 若对于任一数k∈P与任一元素a∈V总有唯 的一个元素δ∈V与之对应,称为k与a的积, s=ka 上页
= + 若对于任一数 与任一元素 ，总有唯 一的一个元素 与之对应，称为 与 的积， 记作 k P V V k = k 定义１ 设 是一个非空集合， 是一数域．如果 对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元 素 与之对应，称为 与 的和，记作 , V V V P
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律,那 么V就称为数域P上的线性空间 设a,B,y∈V;k,l∈P (1)a+B=B+; (2)(a+B)+y=a+(B+y (3)在中存在零元素0,对任何a∈V,都有 c+0=a; 上页
设, , V;k,l P 0 ; (3) 0, , + = 在V中存在零元素 对任何 V 都 有 (1) + = +; (2) ( + )+ = + ( + ); 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么 V 就称为数域 P 上的线性空间．
(4)对任何a∈V都有a的负元素B∈V,使 a+B=0 (5)1a=a; (6)k(a)=(k)a; ((k+0)a=ka+la (8k(a+B)=ka+kB 上页
(5) 1 =; (6) k(l) = (kl); (8)k( + ) = k + k . (7)(k + l) = k + l; 0; (4) , , + = 对任何 V 都 有的负元素 V 使