§2.5行列式按一行(列)展开 251展开公式 252行列式的计算(3) 253小结 上页
§2.5 行列式按一行(列)展开 2.5.3 小结 2.5.1 展开公式 2.5.2 行列式的计算(3)
生251展开公式 1余子式与代数余子式 12 13 容易验证:ana2a 31 32 33 22 23 21 23 21 23 2 13 工工工 32 33 31 33 31 33 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式 的计算 问题:一个n阶行列式是否可以转化为若干个 n-1阶行列式来计算? 上页
容易验证： 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 3 1 3 3 2 1 2 3 1 3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 2 2 3 1 1 a a a a a a a a a a a a a a = a − + 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式 的计算. 问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n-1 阶行列式来计算？ 1.余子式与代数余子式 2.5.1 展开公式
黑定义2-7在n阶行列式中,把元素an所在的第行和 第j列划去后,余下的n-1阶行列式叫做元素 t的余子式记为Mn 称A4=(-1)"Mn为元素an的代数余子式 上例如: 12 13 14 12 D 27……, 22423 24 M,= 31 工工 31 32 33 34 41 42 4142, 43 44 A2=(-1)+3M2=-M23 上页
定义2-7 在 n 阶行列式中，把元素 ij a 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素 ij a 的余子式.记为 Mij 称 ( ) ij i j Aij M + = − 1 为元素 ij a 的代数余子式. 例如： 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 41 42 44 31 32 34 11 12 14 23 a a a a a a a a a M = ( ) 23 2 3 A23 1 M + = − . = −M23
12 13'c 21 23 24 sD 21 22 M 12 31 33 34 31 32 43 44 4…42……书3…… A2=(-1)+2M1=-M2 212 44 21 23 A4=(-1)M4=M4 32 注意:行列式的每个元素都分别对应着一个余子式 和一个代数余子式. 上页
41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 41 43 44 31 33 34 21 23 24 12 a a a a a a a a a M = ( ) 12 1 2 A12 1 M + = − = −M12 31 32 33 21 22 23 11 12 13 44 a a a a a a a a a M = ( ) 44 44 4 4 A44 = − 1 M = M + 注意：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式 和一个代数余子式
王2行列武按一行(列)展开法则 定理25行列式等于它的任一行(列)的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和,即 庄D=an41+a242+…+amA1(=12…“, 证明(先特殊,再一般) 分三种情况讨论,我们只对行来证明此定理 工工工 (1)假定行列式D的第一行除a1外都是0 0 0 D 21 22 n2 nn I 上页
行列式等于它的任一行（列）的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和，即 D = ai1Ai1 + ai 2Ai 2 ++ ainAin(i = 1,2, ,n) 定理2-5 证明 （先特殊，再一般） 分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理. (1)假定行列式D的第一行除 11 a 外都是 0. n n nn n a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 0 0 = 2.行列式按一行（列）展开法则