例2设总体XU(a,b),a,b未知X1,X2,YXn是来 自总体X的样本,试求a,b的矩估计量 解p1=E(X)=a+b)/2 2=E(X2)=D(X)+E(X)2 (b-a)2/12+(a+b)2/4. a+b=2/1 即 b-a=V12(2-1) 解得: a=1-yV3(42-2),b=1+√3(/2-m)
12 例2 设总体X~U(a,b), a,b未知. X1 ,X2 ,...,Xn是来 自总体X的样本, 试求a,b的矩估计量. 解 1=E(X)=(a+b)/2 2=E(X2 )=D(X)+[E(X)]2 =(b−a) 2 /12+(a+b) 2 /4. − = − + = 12( ). 2 , 2 2 1 1 b a a b 即 3( ), 3( ). 2 1 2 1 2 a = 1 − 2 − 1 b = + − 解得:
a=1-3Ah2-2,b=1+√3(2-) 分别以A142代替A1,p2得到a,b的估计量分别 为 a=A1-√3(42-4)=F、3(x2-X)2, b=A4+√3(42-42)=X+ h之(X-B
13 分别以A1 ,A2代替1 ,2 , 得到a,b的估计量分别 为: ( ) . 3 3( ) ˆ ( ) , 3 ˆ 3( ) 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 = = = + − = + − = − − = − − n i i n i i X X n b A A A X X X n a A A A X 3( ), 3( ). 2 1 2 1 2 a = 1 − 2 − 1 b = + −
例3设总体X的均值及方差a都存在,且有 a2>0,但a2均为未知又设X1X2,YXn是来自 X的样本试求a2的矩估计量 解 1= 2解得 =1 2=G+ =2-1 分别以A1,42代替1,42,得和a的矩估计量分 别为 =A1=X, A2-Ai X.-X ∑(X1-x)2
14 例3 设总体X的均值及方差s2都存在, 且有 s2>0, 但,s2均为未知. 又设X1 ,X2 ,...,Xn是来自 X的样本. 试求,s2的矩估计量. 解 = − = = + = . , . , 2 2 1 2 1 2 2 2 1 s s 解 得 ( ) . 1 1 ˆ ˆ , 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 = = = − = − = − = = n i i n i i X X n X X n A A A X s 分别以A1 ,A2代替1 ,2 , 得和s2的矩估计量分 别为
)最大似然估计法若总体X属离散型,其分 布律P{X=x}=p(x;的,∈e的形式为已知,6为 待估参数,巴是硝可能取值范围设 X1,X2…Xn是来自X的样本,则X1X2Xn的联 合分布律为n p(x;6) 又设x1x2,x是相应的一个样本值则 P{X1=x1X2=x2,Xn=xn}的发生概率为 L()=L(x1,x2,,x;)=1p(x;0,11)
15 (二)最大似然估计法 若总体X属离散型, 其分 布律P{X=x}=p(x;q), qQ的形式为已知, q为 待估参数, Q是q的可能取值范围. 设 X1 ,X2 ,...,Xn是来自X的样本, 则X1 ,X2 ,...,Xn的联 合分布律为 ( ; ). 1 = n i i p x q ( ) ( , , , ; ) ( ; ),(1.1) 1 1 2 = = = n i n i L q L x x x q p x q 又设x1 ,x2 ,...,xn是相应的一个样本值. 则 P{X1=x1 ,X2=x2 ,...,Xn =xn }的发生概率为
L()=L(x1,x2,…,x1;0)=∏m(x;0),O∈ 这一概率随硝的取值而变化,它是函数,(的 称为样本的似然函数注意,这里的x1x2y…n 是已知的样本值,它们都是常数) 直观想法是:现在已经取到样本值x1x2…,x 了,这表明取到这一样本值的概率L(O比较 大.当然不会考虑那些不能使样本x1x2…xn 出现的∈@作为的的估计如果已知当G∈巴 时使L(取很大值而@中的其它值使L(的取很 小值,自然认为取为硝的估计值较为合理
16 这一概率随q的取值而变化, 它是q的函数, L(q) 称为样本的似然函数(注意, 这里的x1 ,x2 ,...,xn 是已知的样本值, 它们都是常数). 直观想法是: 现在已经取到样本值x1 ,x2 ,...,xn 了, 这表明取到这一样本值的概率L(q)比较 大 . 当然不会考虑那些不能使样本x1 ,x2 ,...,xn 出现的qQ作为q的估计. 如果已知当q=q0Q 时使L(q)取很大值而Q中的其它值使L(q)取很 小值, 自然认为取q0为q的估计值较为合理. ( ) ( , , , ; ) ( ; ), . 1 q = 1 2 q = q q Q = n i n i L L x x x p x