2.函数连续性的定义 lim Ay=lim[f(x。+△x)-f(x)】=0 △x→0 △x-→0 设x=x。+△x,1△y=f(x)-f(K): △x→0就是x→x, △y→0就是f(x)→f(x,). 祸 定义1-11设fx)在点x的某邻域内有定义， 若1imf(x)=f(), x→X0 则称fx)在点x,连续
定义1-11 ( ) ( ) 0 0 lim , x x f x f x → = 设f (x)在点 x0 的某邻域内有定义, 则称 f (x)在点 x0 连续. , 0 设 x = x + x ( ) ( ), 0 y = f x − f x 0 , x → 就是 x → x0 0 ( ) ( ). 0 y → 就是 f x → f x 2. 函数连续性的定义 0 0 0 0 lim lim[ ( ) ( )] 0 x x y f x x f x → → = + − = 若
少例1证明f)=3x-1在x=1连续. 证明： mf(x)=lm(3x-)=2=f(0） 由定义1-11知：fc)=3x-1在x-1连续. 湿
例1 证明： ( ) ( ) ( ) 1 1 lim lim 3 1 2 1 x x f x x f → → = − = = 证明 f (x) = 3x－1在 x = 1连续. 由定义1-11知: f (x) = 3x－1在 x = 1连续
例2试证函数f(x)= xSin-,x≠0， X 0,1x=0, 在x=0处连续 证明：Iimxsi =0, x→0 X 极秋私 又f(0)=0, limf(x)-f(0), 所以，函数f(x)在x=0处连续 d
1 sin , 0, ( ) 0, 0, 0 . x x f x x x x = = = 试证函数 在 处连续 0, 1 lim sin 0 = → x x x 又 f (0) = 0, 所以，函数 f x x ( ) 0 在 = 处连续。 lim ( ) (0), 0 f x f x = → 例2 证明：
单侧连续的概念 !设fx)在点x的左（右）邻域内有定义，若 lim f(x)=f(x) x→x0 e)j x→X0 则称函数fx)在点x左（右）连续. 函数f(x)在点x连续的充要条件是fx)在 湖 点x,即左连续又右连续
单侧连续的概念 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → − = 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → + = 设 f (x)在点 x0 的左(右)邻域内有定义,若 则称函数 f (x)在点 x0 左(右)连续. 函数 f (x)在点 x0 连续的充要条件是 f (x) 在 点 x0 即左连续又右连续
3设f(-0 x-1,x≤0 ,讨论fx)在 点x=0的连续性. 解：1 m(y-m(x-)=-1=f0) x0 腿 故(x)在x=0左连续. 又因为 limf(x)=lime=1≠f(0) x->0 x→0 故f(x)在x=0非右连续，故f(x)在x=0非连续 -腿
例3 解： ( ) 1, 0 , 0 x x x f x e x − = ( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim 1 1 0 , x x f x x f → → − − = − = − = f x( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim 1 0 , x x x f x e f → → + + = = 设 ,讨论 f (x) 在 点 x = 0 的连续性. 故 在 x=0 左连续. 又因为 故 f x( ) 在x=0非右连续, 故 f x( ) 在x=0非连续