《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章 曲线曲面积分 11-03 第三节 格林公式及其应用

2(y)00aQTdxdy = ["XoxJyi(y)ax0= f" Q(y2(y), y)dy - f" (vi(y), y)dy1EQ(x, y)dy - Jcur Q(x, y)dydCBDx=yyon-Q(x, y)dy + feic Q(x, y)dyCRE2x =,(y)C*xf,Q(x, y)dyolapdxdy = , P(x, y)dx同理可证ayD

dx xQ dxdy dy xQ yy dc D     =  ( ) ( ) 21    = − dc dc Q( ( y), y)dy Q( ( y), y)dy  2  1   = − CBE CAE Q(x, y)dy Q(x, y)dy   = + CBE EAC Q(x, y)dy Q(x, y)dy  = L Q ( x, y )dy 同理可证   =  − L D dxdy P x y dx yP ( , ) y x od ( ) 2 x =  y D c CE ( ) 1 x =  y

两式相加得apaq[[Pdx + Qdydxdy=ayaxD证明(2)L,DD2若区域D由按段光滑的闭曲线围成.如图，DD,L将D分成三个既是X一型又是Y-型的区域D,,Dz,D3apapaQaQdxddxdiaxaxayayDD,+D2+D3

若区域D由按段光滑 的闭曲线围成.如图, 证明(2) L L1 L2 L3 D D 1 D 2 D 3 两式相加得 ( ) L D Q P dxdy Pdx Qdy x y   − = +     将D分成三个既是X −型又是 Y −型的区域D1 ,D2 ,D3 .   + +  −  =  −  1 2 3 ( ) ( ) D D D D dxdy yP xQ dxdy yP xQ

apapaqapaQaQ叮dxddxdydxdayaxayayaxaxD2DiD3Pdx +Qdy +Pdx +Qdy +Pdx +Qdy$, Pdx + Qdy(L,L,,L， 对D来说是为正方向)D

     −   +   −   +   −   1 2 3 ( ) ( ) ( ) D D D dxdy y P x Q dxdy y P x Q dxdy y P x Q    = + + + + + L1 L2 L3 Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy  = + L Pdx Qdy D1 D2 D3 L L1 L2 L3 1, 2 3 ( , L L L 对D来说是为正方向）

证明(3)若区域不止由一条闭曲线7所围成.添加直线段AB,CE.则ED的边界曲线由 AB,L2,BA,CAFC,CE,L，EC及 CGA构BDF成.L,apQA)dxdy由(2)知d=(JtJ+JaJt Jce+ J+JJeca} (Pdx + Qdy)

G D L 3 L 2 F C E L1 A B 证明(3) 若区域不止由一条闭曲线 所围成.添加直线段 AB,CE.则 D的边界曲线由 AB,L2,BA, AFC,CE, L 3, EC 及 CGA 构 成. 由(2) 知 ( ) D Q P dxdy x y   −         = + + + + AB L 2 BA AFC CE {    + + +  + L EC CGA} (Pdx Qdy) 3

(f, + f, + fL(Pdx + Qdy)$, Pdx + Qdy(L,Lz,L,对D来说为正方向)沟通了沿闭曲线的积分与格林公式的实质：二重积分之间的联系，便于记忆形式aa门ayldxdy = , Pdx + Qdy.axDPQ

 = + L Pdx Qdy    = + + + 2 3 1 ( )( ) L L L Pdx Qdy ( , ) L1, L2 L3对D来说为正方向 便于记忆形式:    = +    L D dxdy Pdx Qdy P Q x y . 格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与 二重积分之间的联系