第三节幂级数函数项级数的概念1幂级数及其收敛性1幂级数的运算小结思考题作业
◼ 幂级数的运算 ◼ 小结 思考题 作业 第三节 幂 级 数 ◼ 幂级数及其收敛性 ◼ 函数项级数的概念
一、函数项级数的概念1.定义定义1 设u(x),u,(x)..,u,(x)...为定义在(a, b)内的函数序列,则8Zu,(x) = u(x)+ u,(x)+...+u,(x)+...n=1称为定义在(a,b)内的函数项级数8级数如x"= 1+x+x2+.n=0
1.定义 = n=0 n 级数 x = = ( ) 1 u x n n 如 设u1 (x),u2 (x) ,un (x) 则 函数项级数. u1 (x) + u2 (x) ++ un (x) + 1+ x + x 2 + 定义1 一、函数项级数的概念 为定义在(a, b)内 的函数序列, 称为定义在(a, b)内的
2.收敛点与收敛域8Z定义2设xE(a,b),若数项级数(xo)unn=18Z收敛(或发散)则称x为函数项级数u,(x)n=180Z的收敛点(或发散点).函数项级数un(x)的n=1所有收敛点(或发散点)称为其收敛域（或发散域)
2.收敛点与收敛域 ( , ), 设x0 a b 若数项级数 x0 收敛(或发散) 则称x0为函数项级数 ( ) 1 u x n n = 的收敛点(或发散点). 函数项级数 ( )的 1 u x n n = 所有收敛点(或发散点) 称为其收敛域 (或发 ( ) 1 n= 定义 un 2 散域)
3.和函数8Zun(x)设(s,(x)为函数项级数定义3n=1的前n项和序列,若极限 lims(x)= s(x),xE(a,b)n88Zu,(x)的和函数存在，则s(x)称为函数项级数n=18Zx"=1+x+x?+..如，等比级数n=0它的收敛域为x1,发散域为|x≥1.即有在收敛域内和函数是1-x801ZXVx e (-1,1)1-xn=1
3.和函数 定义3 {s (x)} 设 n 为函数项级数 lims(x) s(x), n = → 则s(x)称为函数项级数 和函数. ( ) 1 u x n n = 的前n项和序列,若极限 x (a,b) 存在, ( )的 1 u x n n = 如, = + + + = 2 0 x 1 x x n n 它的收敛域为 | x | 1, 发散域为 | x | 1. 等比级数 在收敛域内和函数是 , 1 1 − x 即有 , 1 1 1 x x n n − = = x (−1,1)
s(x) = u,(x)+uz(x)+...+u,(x)+... 定义域s(x)的定义域就是级数的收敛域时，它的定义域是般考虑函数I-x(一80,1)U(1,+8),但只有在D=(-1,1)上,它才是8Zx"=1+x+x2+.的和函数n=0注函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题
lim s (x) s(x) n n = → 函数项级数的部分和 余项 r (x) s(x) s (x) n = − n lim ( ) = 0 (x在收敛域上) → rn x n 注 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是 s(x) = 定义域 s (x), n 显然 s(x) 的定义域就是 D = (−1,1)上, = + + + = 2 0 x 1 x x n n (−,1)(1,+), u1 (x) + u2 (x) ++ un (x) + 级数的收敛域. 数项级数 的收敛问题. 一般考虑函数 , 1 1 时 − x 它的定义域是 但只有在 它才是 的和函数