第2章随机变量及其分布内容：1.随机变量与分布函数；2.离散型随机变量的概率分布；3.连续型随机变量的概率分布重点：1.概念：分布函数及性质，离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质2.重要分布：0-1分布、二项分布、泊松(Poisson)分布、均匀分布、指数分布、正态分布的分布.3.随机变量函数的概率分布1.1F随机变量与分布函数一、随机变量1.定义：设随机试验的样本空间为Q，若对样本点のEQ，都存在一个实数X(の)与之对应，即存在一个定义于Q上的单值实函数X=X()，则称X(o)为随机变量.2.注：1）X的随机性；2）以后的事件表示为(X=a),(X>a),a<X≤b)等等二、分布函数1.定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，则称函数F(x)=PX≤x)为X的分布函数2.性质：1° (有界性)0≤F(x)≤1,F(-0)=0, F(+0)=1;2°（单调性）F(x)是单调不减函数，即若X<x2，则有F(s)<F(xz);3°（右连续性）F(x)是右连续函数，即对于任意的x，有F(x+0)=F(x)上述3个性质是判断一个函数是否为随机变量分布函数的充要条件。3.用分布函数表示任意事件的概率：P(a<X≤b)= F(b)- F(a);P(X = b) = F(b)- F(b - 0)例1、设X的所有可能取值为x,x，,x(x, <x,<...<x,),并设X取1所有可能值的概率均为二，求X的分布函数.n
第 2 章 随机变量及其分布 内容： 1. 随机变量与分布函数； 2. 离散型随机变量的概率分布； 3. 连续型随机变量的概率分布. 重点： 1. 概念：分布函数及性质,离散型和连续型随机变量的概率分布及其性 质. 2.重要分布：0-1 分布、二项分布、泊松(Poisson)分布、均匀分布、指数 分布、正态分布的分布. 3.随机变量函数的概率分布. 1.1 随机变量与分布函数 一、随机变量 1.定义：设随机试验的样本空间为W，若对样本点w Î W ，都存在一个实数 X (w)与之对应，即存在一个定义于W上的单值实函数 X = X (w)，则称 X (w)为 随机变量. 2.注：1）X 的随机性； 2）以后的事件表示为{X=a}, {X>a}, {a<X≤b}等等. 二、分布函数 1.定义：设 X 是一个随机变量， x 是任意实数，则称函数 F(x) = P{X £ x} 为 X 的分布函数. 2.性质： o 1 （有界性） 0 £ F(x) £ 1, F(-¥) = 0, F(+¥) = 1； o 2 （单调性）F(x)是单调不减函数，即若 1 2 x < x ，则有 ( ) ( ) 1 2 F x £ F x ； o 3 （右连续性）F(x)是右连续函数，即对于任意的 x ，有F(x + 0) = F(x). 上述 3 个性质是判断一个函数是否为随机变量分布函数的充要条件。 3.用分布函数表示任意事件的概率： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); = = - - 0 < £ = - P X b F b F b P a X b F b F a 例1、 设 X 的所有可能取值为 , , , ( ) n n x x L x x < x <L< x 1 2 1 2 ，并设 X 取 所有可能值的概率均为 n 1 ，求 X 的分布函数
解：由分布函数的定义知0,x<x,kF(x)= P(X ≤x) =,x, ≤x<xk+(k =1,2,...,n-1)n1,x≥ x,例2、向半径为R的圆盘形靶射击，设弹着点落在以靶心O为圆心，以r(r≤R)为半径的圆盘内的概率与圆盘的面积成正比，并设每枪都能中靶.现以X表示弹着点与圆心O的距离，求随机变量X的分布函数，解：（1)若x<0，则(X≤x)是不可能事件，故F(x)=P(X≤x)=0;（2）若0≤x≤R，则PX≤x)=k元x2，（k为比例系数），又(X≤R）1是必然事件，所以P(X≤R)=k元R2=1，故k=.从而元R2F(n)=P(X ≤x)=,R3;(3）若x>R，则(X≤x)是必然事件，故F(x)=P(X≤x)=1综上，随机变量X的分布函数0,x<0x?，如图F(x)=.0≤x≤RP1,x>RF(x)10Rx1.2离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量及分布律定义：1.如果随机变量X仅可能取有限个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变
解：由分布函数的定义知 ï î ï í ì ³ £ < = - < = £ = + n k k x x x x x k n n k x x F x P X x , , ( , , , ) , ( ) { } 1 1 2 1 0 1 1 L 例2、 向半径为 R 的圆盘形靶射击，设弹着点落在以靶心 O 为圆心，以 r(r £ R)为半径的圆盘内的概率与圆盘的面积成正比，并设每枪都能中 靶.现以 X 表示弹着点与圆心O的距离，求随机变量 X 的分布函数. 解:（1）若 x < 0，则{X £ x}是不可能事件，故 F(x) = P{X £ x} = 0； （2）若0 £ x £ R ，则 2 P{X £ x} = kpx ，（k 为比例系数），又{X £ R} 是必然事件，所以 1 2 P{X £ R} = kpR = ，故 2 1 R k p = .从而 2 2 R x F(x) = P{X £ x} = ； （3）若 x > R ，则{X £ x}是必然事件，故 F(x) = P{X £ x} =1； 综上，随机变量 X 的分布函数 ï î ï í ì > £ £ < = x R x R R x x F x , , , ( ) 1 0 0 0 2 2 ,如图 F(x) 1 O R x 1.2 离散型随机变量的概率分布 一、离散型随机变量及分布律定义： 1. 如果随机变量 X 仅可能取有限个或可列无限多个值，则称 X 为离散型随机变
量.2.设离散型随机变量X的可能取值为x，x，，而X取各个可能值的概率（概率分布）为P(X =x} = Pr,k = 1,2,..-Zp,=1，则称P.(i=1,2,,n,）离散型随机变量X的概率函数，所描述的概若台率分布为离散型随机变量X的分布律.分布率也可用下列表格形式表示：XxX...x....PkplP,""p...或用分布矩阵表示：x2.xx,XPP2...Pk.二、分布律性质：性质1:Pk≥0,k=1,2,3;Zpx=1性质2：台三、分布率与分布函数间的关系：F(x)= P(X≤x)= ZP(X = x = Zp;XASXAS.P(X=x}=F(x)-F(x -0)四、常用离散型随机变量的分布1、0-1分布或两点分布①定义：设随机变量X只可能取α与b两个值（不失一般性，可取a=0,b=1)，设取得这两个值的概率分(1-p)和p，则X的概率分布为P(X = k)= p*(1- p)-*,k = 0,1②应用背景：在抛掷硬币的试验中，设X表示一次试验中正面向上的次数，则X服从0-1分布2、二项分布
量． 2．设离散型随机变量 X 的可能取值为 x1 , x2 ,L，而 X 取各个可能值的概率（概 率分布）为 P{X = xk } = pk ,k =1,2,L 若 1 1 i i p ¥ = å = ，则称 ( 1, 2, , , ) i p i n = L L 离散型随机变量 X 的概率函数，所描述的概 率分布为离散型随机变量 X 的分布律.分布率也可用下列表格形式表示： X 1 x 2 x Lxk L k p 1 p 2 p L pk L 或用分布矩阵表示： ú û ù ê ë é L L L L k k p p p x x x X 1 2 1 2 ~ 二、分布律性质： 性质 1: p 0,k 1,2,3,. k ³ = ； 性质 2: p 1 k 1 å k = ¥ = 三、分布率与分布函数间的关系： { } ( ) ( ) ( ) { } { } ; = = - - 0 = £ = å = = å £ £ k k k x x k x x k P X x F x F x F x P X x P X x p k k 四、常用离散型随机变量的分布 1、0-1 分布或两点分布 ① 定义： 设随机变 量 X 只可能取 a 与 b 两个值（不失 一般 性，可取 a = 0,b = 1），设取得这两个值的概率分(1- p)和 p，则 X 的概率分布为 1 0 1 1 { = } = ( - ) , = , - P X k p p k k k ②应用背景：在抛掷硬币的试验中，设 X 表示一次试验中正面向上的次数，则 X 服从 0-1 分布. ２、二项分布
①定义：设随机试验E只有两个可能结果：事件A或者发生，或者不发生将试验E重复独立地进行n次，则称这一串重复独立的试验为n重伯努利(Bernoulli)试验，简称伯努利试验.设X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，p为一次试验中事件A发生的概率，则P[X = k) =C"p*(1- p)"-*,k = 0,1,2,."",n称随机变量X是服从参数为n,p的二项分布，记作XB(n，p).特别，当n=1时，二项分布退化为0-1分布B(1,p).②应用背景：例1、某批产品中有20%的次品.进行重复抽样检查，共取五个样品，求其中次品数等于0，1，2，3，4，5的概率解：将每次抽样看作一次试验，设抽出的次品数为X，则X～B(5,0.2).故所求概率为P(X = k) =Ck x0.2*×0.85-k,k =0,1,2,.*-,5计算得所求概率（即分布率）为023451X0.32770.40960.20480.05120.00640.0003例2、一个工人负责维修20台同类型的机床，在一段时间内每台机床发生故障需要维修的概率为0.05.求：(1)在这段时间内有2~4台机床需要维修的概率；(2)在这段时间内至少有2台机床需要维修的概率解：依题意，X～B(20,0.05)，故所求概率为P(2 ≤k≤4)=Z P(X = k)=ZC% ×0.05*×0.9520-k = 0.2616(1)-2-(2)P(k≥2) =1-(P(X =0)+ P(X =1))=1-(0.9520 +C2×0.05×0.951)= 0.26423、泊松分布①泊松逼近定理：设X服从二项分布B(n，P)，则当n充分大时有下面的近似等式：P(X=h)=C:p(1-P),k=0,12,,n，其中=pk!
① 定义：设随机试验 E 只有两个可能结果：事件 A 或者发生，或者不发生. 将试验E重复独立地进行n次，则称这一串重复独立的试验为n重伯努利(Bernoulli) 试验，简称伯努利试验.设 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数， p为一 次试验中事件 A 发生的概率，则 P X k C p p k n k k n k n { = } = (1- ) , = 0,1,2,L, - 称随机变量 X 是服从参数为 n, p 的二项分布，记作 X ~ B(n, p) .特别，当 n =1时，二项分布退化为 0-1 分布 B(1, p) . ②应用背景： 例 1、某批产品中有 20%的次品.进行重复抽样检查，共取五个样品，求其中次品 数等于 0，1，2，3，4，5 的概率. 解：将每次抽样看作一次试验，设抽出的次品数为 X ，则 X ~ B(5,0.2).故所 求概率为 0 2 0 8 0 1 2 5 5 5 { = } = ´ . ´ . , = , , ,L, - P X k C k k k k 计算得所求概率（即分布率）为 ú û ù ê ë é 0 3277 0 4096 0 2048 0 0512 0 0064 0 0003 0 1 2 3 4 5 . . . . . . X ~ 例2、 一个工人负责维修 20 台同类型的机床，在一段时间内每台机床发生故障 需要维修的概率为 0.05.求： （1） 在这段时间内有 2~4 台机床需要维修的概率； （2） 在这段时间内至少有 2 台机床需要维修的概率. 解：依题意， X ~ B(20,0.05)，故所求概率为 （1） 2 4 0 05 0 95 0 2616 4 2 20 20 4 2 { £ £ } = å { = } = å ´ . ´ . = . = - = k k k k k P k P X k C （2） 1 0 95 0 05 0 95 0 2642 2 1 0 1 1 19 20 20 ( . . . ) . { } ( { } { }) = - + ´ ´ = ³ = - = + = C P k P X P X ３、泊松分布 ①泊松逼近定理：设 X 服从二项分布 B(n, p) ，则当n充分大时有下面的近似 等式： e k n k P X k C p p k k k n k n , , , , , ! { = } = (1- ) - » -l = 0 1 2 L l ，其中l = np
兴e,k=0,1,2,…定义的X的分布称为泊我们把由P(X=k)=p,(k)=k!松分布，记作X～P(2)②应用背景：（“稀有事件”出现的次数）1）一本书上面的印刷错误；2）排队等候的人数；3）某地区某月发生的交通事故数；.2"e=1注：台k!4.几何分布引例：袋中有2个白球和3个黑球，每次从中任取1个球，直至取得白球为止若每次取出的黑球仍放回去，求取球次数X的分布率解：根据乘法公式可知前k-1次均取得黑球，第k次均取得白球的概率为2)(3)-l = 0.4 ×0.6*-P(X =k) = (55故所求分布率为P(X = k) = 0.4 ×0.6k-1,k = 1,2...由于该随机变量X取得它的可能值的概率恰为几何数列，故称这种分布为几何分布.一般地，随机变量X可能取值是一切正数，而取得这些值的概率为P(X =k)=pk-1,k=1,2, , 其中0<p<1, p+q= 1称为几何分布，记作G(p)5.超几何分布设N,M,n为正整数，且n≤N,M<≤N，又设随机变量X的概率函数为CKCN-MP(X = k} =,max(O,n-N+M)≤k≤min(n,M).Cn则称随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布.1.3连续型随机变量的概率分布一、连续型随机变量定义：设随机变量X的分布函数为F(x)，如果存在一个非负可积函数f(x)，对
我们把由 , , , ,L ! { = } = ( ) = = 0 1 2 - e k k P X k p k k l l l 定义的 X 的分布称为泊 松分布，记作 X ~ P(l) . ② 应用背景：（“稀有事件”出现的次数） 1）一本书上面的印刷错误； 2）排队等候的人数； 3）某地区某月发生的交通事故数；. 注： å ¥ = - = 0 1 k ! k e k l l 4．几何分布 引例 ：袋中有 2 个白球和 3 个黑球，每次从中任取 1 个球，直至取得白球为止. 若每次取出的黑球仍放回去，求取球次数 X 的分布率. 解：根据乘法公式可知前k -1次均取得黑球，第k 次均取得白球的概率为 1 1 0 4 0 6 5 3 5 2 - - = = = ´ k k P{X k} ( )( ) . . 故所求分布率为 P{X = k} = 0.4´ 0.6 k-1 , k = 1,2L 由于该随机变量 X 取得它的可能值的概率恰为几何数列，故称这种分布为 几何分布.一般地，随机变量 X 可能取值是一切正数，而取得这些值的概率为 P{X = k} = pq k -1 , k =1,2,L，其中0 < p < 1, p + q = 1 称为几何分布，记作G( p) . 5．超几何分布 设 N, , M n 为正整数，且n £ £ N,M N ，又设随机变量 X 的概率函数为 { } ,max( , n N M ) k min(n, M ) C C C P X k n N n k N M K M = = - + £ £ - - 0 ． 则称随机变量 X 服从参数为 N, , M n 的超几何分布． 1.3 连续型随机变量的概率分布 一、连续型随机变量定义： 设随机变量 X 的分布函数为F(x)，如果存在一个非负可积函数 f (x)，对