第二章第五节函数的微分一、微分的定义二、微分的几何意义三、微分的计算与应用HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页返回下页结束
第五节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的微分 第二章 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、微分的计算与应用
引例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响边长由xo变到xo+△x，问薄片面积改变了多少？△S = (x。 + △x)? - xo(x)= 2xoAx +(△x)XoAxAx△S ~ 2xo△xXoAxXo称为函数y=x在x。的微分HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问薄片面积改变了多少? 0 x x x x 0 x x 0 2 (x) 称为函数 0 x 变到 , 0 边长由 x + x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 y x = 在 x0 的微分
一、定义：若函数y=_f(x)在点 xo 的增量可表示为△ y= f(xo + △x)- f(xo) = A△x +o(△x)(A为不依赖于Ax的常数）则称函数 =f(x)在点xo可微A△x称为f(x)在 点xo的微分记作dy或df即dy = AxHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
的微分 一、定义: 若函数 在点 x0 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y = f (x) 称为 记作 即 dy = Ax = Ax + o(x) 在点 可微 机动 目录 上页 下页 返回 结束 A x
定理：函数V=f(x）在点xo可微的充要条件是= f(x)在点 xo处可导, 且 A=f(xo)即 dy= f'(xo)△x证：“必要性”已知 y=f(x)在点xo可微,则 y= f(xo +△x) - f(xo) = Ax +o(△x)o(△x)A= lim(A+limxAx-→0 △xAx-0故y=f(x)在点xo的可导,且f(xo）=AHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
定理 : 函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x = + → → = A 故 = Ax + o(x) 在点 的可导, 且 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理：函数=f（x）在点xo可微的充要条件是y= f(x) 在点xo处可导, 且 A= f(x)即 dy= f'(xo)△x已知 y=f(x)在点 xo的可导“充分性Ay= f'(xo)limAr-→0 △xAy=f'(xo)+α（ lim α=0)△x△x-0故 Ay= f'(xo)△x +α△x = f'(xo)Ax+o(△x)即 dy= f'(xo)△xHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
定理 : 函数 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 “充分性” 已知 lim ( ) 0 0 f x x y x = → = + ( ) 0 f x x y ( lim 0 ) 0 = → x y = f (x )x +x 故 0 ( ) ( ) 0 = f x x + o x 即 dy = f (x )x 0 在点 的可导, 机动 目录 上页 下页 返回 结束