第二节换元积分法2一、第一类换元法（又叫凑微分法）二、第二类换元法（又叫代换法）三、小结思考题高等数学（上册）
一、第一类换元法（又叫凑微分法） 二、第二类换元法（又叫代换法） 三、小结 思考题 第二节 换元积分法2
二、第二类换元法[x'/1-x'dx=?问题解决方法改变中间变量的设置方法过程由定义域可得 xE[-1,1]令x=sint，te[-,号1(找一单调区间满足定义域)= dx = costdt,f x' /1-x'dx ={(sint)'/1-sin't costdt由telsin' tcos' tdt =... sin' t Icost I costdt（应用“凑微分”即可求出结果）高等数学（上册）
问题 5 2 x 1 x dx ? 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 sin [ , ]( ) 2 2 x t t ， 找一单调区间满足定义域 dx costdt, 5 2 x 1 x dx 5 2 (sin t) 1 sin t costdt 5 sin t | cost | costdt （应用“凑微分”即可求出结果） 二、第二类换元法 由定义域可得 x[1,1]. [ , ] 2 2 5 2 sin cos d 由t t t t
定理2设x=(t)是单调的、可导的函数，并且y'(t)± 0，又设f[y(t)ly'(t)具有原函数则有换元公式[ f(x)dx=[[ F[y(t)]y'(t)dtJt=y(x)其中y(x)是x =(t)的反函数高等数学（上册）
其中 ( x)是x (t)的反函数. ( ) ( )d [ ( )] ( )d t x f x x f t t t 则有换元公式 并且(t) 0，又设 f [ (t)](t)具有原函数， 定理2
1.有理代换（根号单x是一次的，根号整体代换，注意积分变量也跟随着变；里面多个根号，x都是一次的，选取各根指数的最小公倍数代换）高等数学（上册）
说明（1）积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.X-（P216例27，三角代换很繁琐）例1 求dxx解 令t=/x-1,= x = t2 + 1, dx = 2tdt.?2tdt = 2dtr+X+11一+dt =2J(1-: 2)dtt? +1t? +1还原= 2(t - arctant) + C= 2(/x-1-arctan/x-1)+CC一高等数学（上册）
积分中为了化掉根式是否一定采用 三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的 情况来定. 说明(1) 例1 求 1d x x x （P216例27，三角代换很繁琐） 解 令 dx 2tdt, t x 1, 2 x t 1, 1d x x x 2 2tdt 1 t t 2 2 2 dt 1 t t 2 2 1 1 2 dt 1 t t 2 1 2 (1 )dt t 1 2(t arctant) C 2( 1 arctan 1) . 还原 x x C