《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第四章_4.3

第三节分部积分法基本内容三、禁李三、 思考题高等数学（上册）

一 、基本内容 二、小结 三、思考题 第三节 分部积分法

基本内容问题I xe'dx = ?解决思路利用两个函数乘积的求导法则设函数u=u(x)和v=v(x)具有连续导数(uv) = u'v+uv',uv'=(uv) -u'v,u'dx = uv-[u'vdx, [udy = uv -f vdu.分部积分(integrationbyparts)公式高等数学（上册）

问题 d ? x xe x   解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u  u( x)和v  v( x)具有连续导数, uv   uv  uv ,  uv uv   uv,    uvdx  uv  uvdx,   udv  uv  vdu.   分部积分(integration by parts)公式 一、基本内容

例1求积分Ixcosxdx.1解 (一)令u= cosx, xdx 22七[ xcos xdxsin xdxcos x22显然，u,v选择不当，积分更难进行解 (二)令 u= x, cosxdx =dsinx =dy[ xcosxdx = [ xdsinx = xsinx -sin xdx= xsinx+cosx+C.高等数学（上册）

例1 求积分 xcos xdx .  解（一） 令u  cos x,   1 2 d d d 2 x x  x  v xcos xdx  2 2 cos sin d 2 2 x x  x  x x  显然，u,v选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 u  x, cos xdx  dsin x  dv xcos xdx   xdsin x   xsin x  sin xdx   xsin x  cos x  C

fuv'dx = uv-fu'vdx,fudv=uv-fvdu.分部积分公式分部积分的两个原则：1.dv要容易凑出分部积分步骤：2.「vdu比「udv容易观察[ f(x)dx = [ u'dxudv= uv-f vdu凑微分：dv分部= uv- [u'vdx反对幂指三，前者取U，一般可以解决。高等数学（上册）

反对幂指三，前者取U，一般可以解决

[x"e'dx =x"de'例2求积分Ix'e*dx.[x"sin xdx =-x"dcosx解 u= x2, e*dx = de* = dv,Jx'e'dx =J r'de* =+'e'-fedx rodt-jIx"dsinx= x'e* - 2[ xe*dxu=x, e'dx =dy= xe* - 2[ xde*（再次使用分部积分法= x’e* -2(xe* -e*)+C.注意，前后几次所选的u应为同类型函数总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就考虑设幂函数为u，使其降幂一次(假定幂指数是正整数)高等数学（上册）

例2 求积分 2 d . x x e x  解 , 2 u  x d d d , x x e x  e  v 2 d x x e x  2 2 d x x  x e  xe x  2( ) . 2 x e xe e C x x x     （再次使用分部积分法） u  x, d d x e x  v 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)  注意，前后几次所选的 u 应为同类型函数. 2 = d x x e  2 2 d x x  x e  e x  2 2 d x x  x e  x e 