Review 有势场A=grad u 4=-grad v rotA=0 u(x.y,z)= Px,y,)k+∫广0xy2d+ R(x,y,z)dz 场论与复变函数 冬管形场 divA=0 0=∫0xyk-∫广R(xyo4 V=-∫Pxy,)t A≡rotB W=C(C为任何常数) 必调和场 div4 =0 v(x,y)=- P(x,y )dx- O(x.y)dy rot=0 主讲：徐乐 u(x.y)= O(x,y)dx+ P(x,y)dy lexu@amail xidian.edu.cn 场论与复变西敢 。。 2 Review 第5讲哈密顿算子及正交曲线坐标系 冬共轭调和 ou ov ou ov 哈密顿算子 dx ay'dy ex 共轭调和条件 au0-0 正交曲线坐标系 axv 共轭调和函数 是0 拉普拉斯算子 △三 拉普拉逊 02 冬调和量 满足拉普拉斯方程， 拉普拉斯方程 △u=div(gradu) 且有二阶连续偏导数 的函数，叫调和函数 △1l=0 场论与复变教： xidian.edu.cn
哈密顿算子 哈密顿算子 V算子一哈密顿算子 ?一个新的微分算符 ·直角坐标系定义：v号号+ Nablat那勃勒 au=40停4号 ■梯度： radu =Vu ++ 数乘 Del代尔) .v=42 ■散度： a认c404 dx dy dz 点积 a.v)B=4返 v.4-4,4+4 ■旋度： 叉积 A fexutmail.xidian.eda.cn 场论与复交函。···· lexuaimailcidian.edu.cn 场论与复变西激.···· 哈密顿算子 哈密顿算子 必两个矢量恒等式 必两个积分变换 div(rot)=0 7-(V×4)=0 旋无散 ∮a.i=oa.s∮.l=∬x. 线一面 rot(gradu)=0 7x(Vu)=0 梯无旋 ∯A.店=∬a ∯4.=∬pa动 面一体 fexulmail.xidian.edu.cn eu@mail vidian.en······场论与复变袁○····
哈密顿算子 哈密顿算子 (1)V(cu)=cVu(c为常数) (12)V(A·B)=A×(7×B)+(A·V)B+B×(V×A) (2)V·(c4)=eV·A(c为常数) +(B·V)A (3)V×(cA)=cV×A(c为常数) (13)V·(A×B)=B·(V×A)-A·(V×B) (4)7(u±)=Vu±Vt (14)V×(A×B)=(B:V)A-(A·V)B-B(V·A) +A(V·B) (5)V·(A±B)=V·A±V,B (15)V·(V4)=72u=△u(△u为调和量) (6)V×(A±B)=7×A±7×B (7)V·(uc)=74·c(c为常矢) (16)V×(Vu)=0, (8)V×(we)=Vu×c(c为常矢) (17)V·(V×A)=0, (9)V(w)=u7p+。7u (18)V×(7×A)=V(7·A)-△4 (10)V·(uA)=u7·A+7u·A (其中AM=△Ai+△A,J+AA,k), (11)7×(A)=u×A+7u×A fexulamallxidian.edu.en 场论与复变通教··。·· lexuamail xidian.educn 。。,。。,论与复变西数 10 哈密顿算子 哈密顿算子 (19)Vr==r [f(u)gu)]' =f'(u)g(u)+f(u)g'(u) (20)V·r=3 (21)V×r=0 ·哈密顿算子服从 (22)Vf(w)=f(u)74 乘积的微分法则 (23)V,)=乎u+芝 作用于n顶乘积 V= + + v.a-+04, u ay 时可以写成n项 (24)v)-f,=frr 之和： ·徽分性在每项 矢量性 微分性 中分别只对一 (25)V×[f(r)r]=0 a a V×A 个变起作用： a (26)V×(r3r)=0(r≠0) a证 矢量性如同一 A A A 般矢量起作用 扬论与复变通教：·。。·1 场论与复变西
哈密顿算子 哈密顿算子 例1证明V(uw)=Vv+vVu 例1证明7(uw)=uVv+vVu ·证直接法 ·证公式法 V(uv)=V(uv)+V(uv) -d()()): V(uv)=u.Vv vVu=V(uv) V(uv)=u,Vv+v.Vu V(uv)=uVv+vVu =uVv+vVu fexut manl.xidian.edu.en ,,。场论与复变数。···· lesu@moil xidian.edu.cn 哈密顿算子 哈密顿算子 例2证明 V.(uA)=uV.4+Vu.A 例3验证 j(a×)di=2∬a:dk a为常矢 ■证] 7.(uA)=V·(uA+V.(uA) ■证 ∮(a×r)-di=Jj川x(axFs V.(uA)=uV.A=uv.A V·(uA)=7uA.=Vu·A 7x(a×月=7×(a×F)+Vx(a×F) Vx(a xr)=a(V.F)-(aV) V×(a×元)=(V)a-(V,a) V.(tuA=uV.A+Vu·A Vx(axF)=a(V.F)-(a.V)+(FV)a-F(V.a) (a.=a +a,0y =ax+ai+a2=a Vx(axF)=2a ∮(a×)-dl=2a:s fexumail.xidian.cdu.cn ·,··，·场论与复变通数。···· 15
甲子工程学院⊕尘① Suhool of Electronic Engineering.Xidian University http://see.xidian.ed 正交曲线坐标系 空间点除了能用直角坐标，)表示外，也可以用 Let's have a rest! 另外三个有序数(4,92,93)来表示 q是（化，y,)的单值函数，对应于空间曲线，故称其 为点的曲线坐标； lexu@mail xidian.edu.cn 。。。。,场论与复变函 。。。 正交曲线坐标系 正交曲线坐标系 冬坐标曲面 91(x,y,z)=G 坐标曲线相互正交 z q3 a ·各坐标曲线在该点的切线互相正交 892 q(x,y,z)=c2 ”坐标曲面相互正交 a ■9是单值函数 9(x,y,z)=C3 ·各坐标曲面在相交点处的法线互相正交 ·在空间各点，每族等值曲面都仅有一个曲面 正交曲线坐标系 经过 曲线 ■a,为曲线4，上的切向单位矢，且指向g曲线增大一方，若a1, 坐标曲线 42,43互相垂直且满足右手螺旋关系，则称构成的坐标系为 正交曲线坐标系： ·坐标曲面两两相交形成的曲线 ■最常用的两种正交曲面坐标系 ·坐标曲面q1=℃和q2=c,坐标曲面形成的坐标 一圆柱坐标系 曲线上仅有q在变化，因此称为q3曲线。 一球面坐标系 论与复变数。。·。··” lexu@mail xidian.edu.en 20