Review 必场论导论 冬矢量场的矢量线 场论与复变函数 数量场的等值面与等值线 单值、连续且具 有一阶连续偏导 数量场的方向导数与梯度 冬矢量场的通量与散度 冬矢量场的环量与旋度 主讲：徐乐 lexuamail cidian.edu.cn 。复变函数与场论。。。。。。。 Review Review 必通量 数量场 ■设A(M)为一矢量场，沿其中有向曲面S正（负） 侧曲面积分称为矢量场AM0向s正（负）侧穿过 等值面 曲面S的通量。 梯度 ·如果曲面是一个开曲面，则 矢量场 w=fA-ds =1a.nds ·如果曲面是一个闭曲面，则 矢量线 散度 旋度 4=∮Ad5 复变函数与场论。。····· 。复变函数与场论。·。····
Review Review 全局特性 局部特性 散度： ■设M是矢量场中的一点，在M的某个邻域内取 曲面内有 源在s内 正源或负源 分布情况及 一包含M在内的任一闭合曲面，其所包含区域 个 一点处强弱 的体积为△V,以△φ表示穿出△s的通量。 ds 闭合曲面 ·若当该区域以在意方式缩向点V时，？ AV 通量正负 散度 极限存在，则称之为矢量场在点M处的散度。 记为 ∯西 △p wA=,A职，广A 。复函数与场论。·。··，· lexul@mail uidian.edu.cn 复变函数与场论。。·。··· 矢量场的环量与旋度 Review 冬环量 公旋度 。定义：设有矢量场，则沿场中某一封闭的有向曲线的 曲线积分「=∮·d称为此矢量场按积分所取 方向沿曲线的环量。其中d=元dl) ■直角坐标系： A=A(x,yz)+A,(xy,z）+A(x,y,z)日 n=cosax+cos Bi+cosy2 4=R方 di =di cosa+dlcos Bi+dlcosy=dx+dy i+dz 「=重Ad=重4k+4山+4正 ····复变数与场论、······
矢量场的环量与旋度 矢量场的环量与旋度 回顾V算子： ·旋度运算法则 ■直角坐标系定义：v=只+ 1Vx(c)=cV×A(c-常数) 5°Vx(W0=0 +品 2”V×(A±B=V×A±VxB 6”V-(V×=0 ■梯度： 矢量 3°V×(=VxA+Vn×A 7V×V×A=(W,-7A gradu =Vu- 4°V(A×8)=rm1A.彦-A·o彦 ■散度： divA=V.A aL+1+4 标量 其中V称为拉普拉斯算子，在直角坐标系中有 黎器 ■旋度： o=V×A= 矢量 VA-VARVA+VA fexulamail.xidian.edu.cn 夏变函数与场论.。。。。。。 lexw tmail.cidian.edu.cn 。复变函数与场论。。。。。。。 10 矢量场的环量与旋度 矢量场的环量与旋度 例 在坐标原点处放置一点电荷4，在自由空间产生的电 例9证明：口.(A×B)=V×AB-A.V×B(Rule4) 证A=A+A,+A: B=B,元+B,+B2 场强度为E=之心+炉+，求自由空 间任意点(0)电场强度的旋度VXE。 AxB=(A,B.-A.B,)+(A.B,-AB.)+(A.B,-A.B.) 解 秋面8器会8-☒治 V×E=9 )小 号®号0-4号 =0-B+4-B,+-B y 6z dx dx y +)月-。 =V×A,B-A,V×B 识-8A-识34-0-4 dz dx 复变函数与场论。···。·· 复变函数与场论。。。·。。· 12
第4讲特殊矢量场 单连域与复连域 必有势场 线单连域与线复连域 必管形场 ■任取简单闭曲线！∈空间区域G: 必调和场 ■存在以为边界且全部位于区域G内的曲面S: ■满足以上要求的G称为线单连域 ▣否则称之为线复连域 lenu@ml.am.eh.n·,,··· 复函数与场论。·。···· 13 lexutmoil.cidian.educn 。···复变函数与场论。····。· 14 单连域与复连域 弹连域与复连域 面单连域与面复连域 ■任取简单闭曲面S∈空间区域G: ■S包围的点全部位于区域G内(S内没有洞)： ■满足以上要求的G称为面单连域 ▣否则称之为面复连域 lexumuil.xidian.edu.cn 15 ■ew@mal加mchm。··。。·复变函数与场论。。、·。··《16
有势场 有势场 定义]设有矢量场AM,若存在单值函数u(M)满足： 定理1在线单连域内矢量场A(M0为有势场的充 4=grad u 要条件是A(M0为无旋场。 ■称此矢量场为有势场 证]必要性 A=P(M)i+(M)j+R(M)R A(M)为有势场 。命=-4，则为失量场的势函数，即 4=-grad v P=u,Q=4,R= A=grad u ■Note1:有势场是梯度场： ■Note2:有势场的势函数有无穷多个： rota=V×A a =R-0)+P-R)+0,-P=0 ■Note3:有势场的势函数之间差一个常数 R A(0为无旋场 lexulamall.xidian.edu.cn ,。·。夏变函数与场论。。。。。。 17 lexuamail cidian.edu.cn 、复变函数与场论 18 有势场 有势场 冬充分性若A为无旋场，则场中处处有rotA=0 推论1如下四种表述等价：在线单连域内， 、A:与路径无关一∮A-:=0一斯托克斯公式 ■(1)失量场A是有势场（某个数量场的梯度场） 固定点M,oz0,以Mcyz)为动点构造数性函 ·(2)失量场A是无旋场（场内处处旋度为零） 数 《x2 ■(3)失量场4是保守场（场内线积分与路径无关） u(x,y,z)= A.dl= Pdx+Ody +Rdz ■（④表达式是某个函数的全微分 -=P Ar Ar 一=im Ar Adi=Px+Oh+R=k+山+ gradu-Vu-ji+ y A(0为有势 fexula mail.xidian.edu.cn 复变函数与场论。。。·。·· 1.cidian.edu.cn 复变函数与场论··。···· 10