Review 场论导论 冬矢量场的矢量线 场论与复变函数 数量场的等值面与等值线 单值、连续且具 数量场的方向导数与梯度 有一阶连续偏导 主讲：徐乐 lexwlamail cidian.edu.en 。。。。。,,场论与复变函数。。。。。。· 矢量场 量线 冬矢量场 ÷矢量线 ■M为矢量场中的任意一点；A=(M) ◆ 曲线在其上每一点处都与该点的矢 量A相切： ■矢量场中分布在各点处的矢量是场点的函数 ·矢量线方程： 亚也 A.A A. ■直角坐标系下，矢量场可表示为： ·Note:A不为0，且其3个分量单值、 连续且具有一阶违续偏导数时，矢 =A(x.y.2)i 量线存在且互不相交； ■矢量面：通过曲线C的失量线构成的 +A(x,y.z)j 曲面： +A.(x,y,2) ·矢量管：曲线C封闭时的失量面。 exula mail.xidian.edu.cn 场论与复变函数。。··。·· ,场论与复变函数。。··。·
等值面 梯度 等值面 梯度性质 在数量场中，使函数取相同数值的所有点组成的曲面 ■梯度与方向导数：数量场在一点沿某方向的方向导数 称为该数量场的等值面 等于梯度在该方向的投影： ■Note1:函数单值且各连续偏导数不全为0，则等值面 ■梯度与等值面：数量场中一点处的梯度垂直于该点处 必存在。 的等值面，且指向数量增大一方。 ■Note2:c取遍所有可能值时，这族等值面充满数量场 所在空间，且这族等值面两两互不相交。 Cu ■Note3:数量场中的每一点都有一个等值面通过，且函 or-gradu. 数单值，故每一个点均有且仅有一个等值面通过 fexulamall.xidian.edu.cn ····场论与复变数.··。·· lexu@mail_cidion.edu.cn 梯度 场论 例求曲面2xz2-3y-4x=7在其上点M1,-1,2) 处的切平面方程 数量场 5 [解] ■该曲面是数量场u=2z2-3-4的一张等值面； 等值面 梯度 ■由梯度性质可知点M处的法向方向与梯度同向 gradu ly=(2z2-3y)i-3xj+4xzk ly=7i-3j+8k 矢量场 ■由此可得切平面方程 采用矢量线 分析工具 7(x-1)-3y+1)+8(z-2)=0 描述 7 →7x-3y+8z=26 fexulmail.xidian.edu.en ·，··。·场论与复攻商数······· 。··。·场论与复变数。····
第3讲矢量场分析 矢量场的通量与散度 冬矢量场的通量与散度： 。有向曲面 ■矢量场的通量 ·为区分曲面两侧，常规定其一侧为曲面的正侧，另一面为其负侧。 这种取定了正侧的曲面称为有向曲面； ■矢量场的散度 ·对于封闭画面，习惯上总是取其外侧为正侧。 必矢量场的环量与旋度： 必流量 ·设S为流速场M中一有向曲面，考虑单位时间流体向正侧穿过S的 ■失量场的环量 流量Q。(正向指向S正侧) ·矢量场的旋度 在S上取s,s足够小以至于s上各点处曲面法向及流体流矢均与M 处相同。流体穿过s的流量为： dQ=vd=(位，)ds=下，ds ·单位时间内沿正向穿过s的总流量为 0=∬№=∬.s=∬ds ds fexulamail.xidian.edu.cn 场论与复变函数.。。·。。· 。数学土把这种形式的曲面积分称为通场论与复变通数 矢量场的通量与散度 矢量场的通量与散度 冬曲面正向 必通量 。将曲面的一个面元用失量S来表示，其方向取为面元 ■将曲面S各面元上的Ads相加，它表示矢量场4穿过整 的法线方向，其大小为S,即 个曲面S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分 ds=nds ■设A(0为一失量场，沿其中有向曲面S正（负）侧曲面积 分称为失量场4M向s正（负）侧穿过曲面S的通量。 ■是面元法线方向的单位矢量。 ·如果曲面是一个开曲面，则 ·开曲面：设这个开曲面是由封闭曲线所围成的，则选定绕行 的方向后，沿绕行方向按右手娜旋的舞指方向就是的方向 业=，Ad=,Aids ·闭曲面：外侧为的方向 ·如果曲面是一个闭曲面，则 y=ΦAd5 .xidian.edu.cn 场论与复变函数。。。·。·。 场论与复变函数。。·····
矢量场的通量与散度 矢量场的通量与散度 Note1:通量可以叠加； 冬物理意义 a=2 Φ=2中，=∬A西 ■开曲面 ·当Q>0:流向正侧流量多于流向负侧流量： ■Note2:直角坐标系中： ·当Q<0:流向正侧流量少于流向负侧流量： ·当Q-0:流向正侧流量等于流向负侧流量。 A=P(x,5z)r+0x,y,z护+Rx,八，2)2 ■闭曲面 ds=d山dzr+dde妙+ddyi ·当Q>0:穿出的通量大于穿入的通量，有正源： ·当Q<0:穿出的通量小于穿入的通量，有负源： 中=j∬As=川Pdb+Qtkd+Rdd ·当Q=0:穿出的通量等于穿入的通量，正、负源抵消或无源。 ·,··,··场论与复变函数.······ lexuf@mail cidian.edu.en 4 矢量场的通量与散度 矢量场的通量与散度 ”例1已知 矢量场：产=xi+yj+z求穿出S的通量。 ”例2已知 矢量场：F=x+y)+z求穿出S的通量。 曲面：x2+y2=z2与z=H围成闭曲面 曲面：x2+y2+z2=R(z>0) 解 解 =∬F =川.（矢径与面元法向平行且同向） =F+∬r5(S,上矢径与面元垂直 =∬d =∬F.s=∬ddk+dt+z =RJJds =Hd=Hjd=H,πH=πH =R·2πR =2πR ,场论与复变函······
矢量场的通量与散度 矢量场的通量与散度 例3原点处点电荷在其周围产生的电场中，任一点 全局特性 局部特性 处的电位移失量D=9一( √+2+1 冬矢量场的散 求穿过以原点为球心，F为半径球面的电通量。 度 曲面内有 源在s内 正源或负源 分布情况及 解] ·点处强弱 9 9 ■为表征矢量 场内一点处 闭合曲面 =9 通量正负 源的强弱而 散度 s内产生电通量 9为正电荷，>0，为正源： 引入散度的 的源即为电荷g g为负电荷，<0，为负源： 概念1 lexula.edu.cn 场论与复变函数、。。·。。· lexuamail didian.edu.cn 一女变函数 矢量场的通量与散度 矢量场的通量与散度 散度： 冬散度 ■设M是矢量场中的一点，在M的某个邻域内取一包含M ·Notel:为一数量： 在内的任一闭合曲面，其所包含区域的体积为△V,以 ·Note2:表示场中一点处通量对体积变化率，即该点处 △φ表示穿出△s的通量。若当该区域以任意方式缩向 穿出包围单位体积闭合曲面的通量： 点M时， ■Note3:为该点处源的强度； divA>0—该点有正源： divA<0一 一该点有负源： 极限存在，则称之为矢量场在点M处的散度。记为 div A=0- -该点无源： ∯因 △2 dnA=mA△业 ▣Note4: diA=O的矢量场称为无源场。 fexula mail.xidian.edu.cn 场论与复变函数。。·。。· 。。·。场论与复变函数。。··。·