Review 冬矢量代数 矢性函数 场论与复变函数 矢性函数微积分 主讲：徐乐 lexu@mail.xidian.edu.cn 场论与复变西散 矢性函数 矢性函数微积分 矢性函数 矢性函数的导数与微分 ■基本概念 ▣导数 ·若某一矢量的模和方向都保特不变，此矢量称为常 ■ 设：是的矢性函数，当数性变量在 矢，如某物体所受到的重力。而在实际问题中遇到 其定义域内从变到+△1（△1≠0时，对 的更多的是棋和方向或两者之 会发生变化的矢量， 这种矢量我们称为变矢，如沿着某一曲线物体运动 应的失量从变化到A+4)，则称 的速度等： △d=At+)-0为A)对应于△的增量。 A(1) ■矢性函数 ■令： 名回和 A(t+△t) ·设是一数性变量，A为变矢，对于某一区间G[a, b]内的每一个数值t,A部有一个确定的矢量A(t)与 之对应，则称A为数性变量t的失性函数。记为 若极限存在，则称矢性函数在处可导， 且此极限为矢性函数在处的导数。 A=A(t),t∈G lexua mail.xidian.edu.cn 场论与复变面数。···· 场论与复变西数 4
矢性函数微积分 矢性函数微积分 ”矢性函数的微分 设A=),B=B)和r=)可导，则有： ·定义 dA=A(t)dr -出+… ■失性函数的微分是一个矢量，且在矢端曲线上处的切 dr ”品d±画-4吸 线方向，但不恒指向增大的一方，当△>时，与和 山h 5品列-盟1腰 方向一致（增大一方）；而当△山<时，与相反(1 3话④=西 (k—常数) 日角台+ 6 减小一方) d 7°复合函数的导数 ■微分同样可以用分量的形式表述出来： 设a=),u=u),则： dAdA du dA=0d=[40.f+40+0]d =A)边+ALd+A)山E =dA,dn idA. lexua mail.xidian.edu.cn 场论与复变函数······ lexul@mail.xidian.edu.cn ,场论与复变函数······· 矢性函数微积分 矢性函数微积分 矢性函数的积分 ”不定积分性质 ·不定积分 1fIk4u1d=kA)山 4'「a4)h=a「au)h ■若在的某个区间a,b上，)=r,则称为 2°jia0)±u1d=∫a0d±∫B0 5「a×0d=ax「a0d 在该区间上的一个原函数，而 的全体原函数称之为 3「u0ad成=af)l 其中是常数，石是常矢量 此区间上的不定积分。记为： 6°换元积分法：设其有原 函数w),H=et)可导，则ot)为 7部分积分法： ∫a)d A(])的原函数，即： ∫))请-0i)-∫)ai) 「A】p0t=B0l+d ▣常失的导数为0，若为的一个原函数，则的 全体原函数为 )其中为任意常矢。 若A=A.)元+A0炉+A,02,则根据2”，3有 ◆ 因此有： [A(ndt=B()+c ∫A0=i∫A,0d+∫A,)h+∫4,0d 将一个东性函数的不定积分转化为三个数性函数的不定积分 u@mailxidian..ed.cn,,。·。·,希论与复变项数、·。·。。· lexu@mail..am.eda.cn。。·。·,菊论与复变函最。。、····
矢性函数微积分 矢性函数微积分 冬定积分 冬总结 ·矢性函数的定积分计算有类似于数性函数牛顿一莱布 极限 m0=mA0+m4,0+im4)归 尼兹公式的计算公式： imA,)=4,) ·连续 im0=A)一1im40=A,《) ·若是在区间[T,T1上的一个原函数，则： m40=46) a0d=)-) 导数 dh山 微分 dA(t)=dA,dAdA •积分 「)d=可4)h+A)d出+可A)d 场论与复变面数。······ lecn@mail.xidia.m.cn,。,。。,,扬论与复变函数 矢性函数微积分 矢性函数微积分 总结 例1设有二失性函数 e()=cos+sini e(@)=-sin元+cosp 失性函数A=A,(t)R+A,(t方+A,(t)2 证明=0， “(= 且(1（的 (o) 运算 LIA(D]=LIA,(+LIA.(+LA,(0]2 证到 L是算子符号，代表一种运算（极限、导数、积分） ()=(cosoY+(sin oYj=-sin oi+cos=() 一些基本矢量运算 o)=(-sing)i+(coso)'j=-cosi-sing=-(o) (ee(p)=cosp(-snp)+-sincoso=0→(p)⊥E(p a.b=a.b.cos a6×)=c(a×b)=b(c×a) 显然，这两个失性函数均为单位矢量，其模值为1，即为 ax(bxc)=(ac)b-(a.b)c 单位圆矢量，且有()=(0+90) lexu(a mail-xidian.edu.en 场论与复变数···。·· lexu@mail..xidian.edu.cn 场论与复变函敬。。。··。。 2
矢性函数微积分 矢性函数微积分 。例2证明失性函数模为常数的充要条件是A4=0 冬例3已知（与一非零常失量满足）再又知 与 B 1证必要性：若1A为常数，则A·i为常数 之间的夹角为常数，试证明 A')⊥A) 对其两边求导，并利用失性函数求导性质5可知： 冬证] (t)-B=14()-B=1()Blcos0=1 A4=0 B为常矢，0为常数 d山 充分性：若号-0，则料4利=21生0 1川为常数 由数性函数的求导性质知A为常数，进而知： 盖利-2-0 A为常数 ,A”=0→升1” 即证] lexuia mail.xidian.edu.cn 场论与复变函敬，······ lexu@mail.xidian.edu.cn 场论与氯变卧取······· 矢性函数微积分 矢性函数微积分 例4 计算2oeg+1)do ·例5 计算p)dp=9-0 解] e(2+1)=cos(+)+sin(+1) 冬解 de-0) 换元令u=02+1,则 「2pe(g+l)d=()u(o]dg =(os受+n号-(cos0i+sn0列 =-f+ =c(u)du=-g(u)+c =-e(⊙+1)+正 =-sin(+1)+cos(+)+ lexu@mail.cidian.edu.cn ,,·,··希论与复变函数。······5 eama.ai.eda.cn。··。·,希论与复变数。。。····16
作业 第2讲数量场 P18 必场论导论 ?矢量场的矢量线 数量场的等值面与等值线 ■2、4、9 数量场的方向导数与梯度 lexua mail.xidian.edu.cn 场论与复变面数。。··。·· 17 lexu@mail.xidian.edu.cn ,场论与复变西数 ···。18 场论导论 场论导论 场论初窥 。场的一个重要的属性是它占有一定空间； ·如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理 量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量 且在该空间域内，除有限个点和表面外，其物理 的一个场。换句话说，在某一空间区域中，物理量的 量应是处处连续的； 无穷集合表示一种场。 ·在研究物理系统中温度、压力、密度等在一定空间的分布状 冬若该物理量与时间无关，则该场称为静态场； 态时，数学上只需用一个代数变量来描述，这些代数变量（即 标量函数)所确定的场称为激量场，如温度场T,乃)、电位 ÷若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或时 扬（化，水）等。 变场。 数量场矢量场 而在许多物理系统中，其状态不仅需要确定其大小，同时还 需确定它们的方向，这就需要用一个失量来描述，因此称为 静态场 失量场，例如电场、磁场、流速场等等。 动态场 lexufa mail.xidian.edu.cn 场论与复变函数。。··。··19 场论与复变西数。 。···。·20