【新教材】10.1.2事件的关系和运算教学设计（人教A版）教材分析事件的关系与运算是继随机事件的后续部分，本节课提出了事件的关系、事件的运算等两部分，学生将通过新旧知识的对比学习来进行自主学习，同时通过共同探讨来理解和掌握新知识的实际含义，教学目标与核心素养课程目标1.理解并掌握时间的关系和运算2.能够将事件的运算关系知识灵活运用到实际事件中。数学学科素养1.数学抽象：事件的关系和运算教学重难点重点：事件运算关系的实际含义难点：事件运算关系的应用课前准备教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。教学过程情景导入在掷般子的试验中，可以定义许多事件：例如，事件C一（出现1点），事件C=（出现2点），事件C=（出现3点），事件C4=（出现4点），事件Cs一（出现5点），事件C6=（出现6点），事件D=（出现的点数不大于1)，事件D2=（出现的点数大于3)，事件D3=（出现的点数小于5)，事件E=（出现的点数小于7)，事件F=（出现的点数为偶数），事件G=（出现的点数为奇数）...你还能写出这个实验中其他一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件.借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探二、预习课本，引入新课阅读课本229-232页，思考并完成以下问题1.事件的关系或运算的含义？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究事件的关系与运算1定义图示表示法
【新教材】10.1.2 事件的关系和运算 教学设计（人教 A 版） 事件的关系与运算是继随机事件的后续部分,本节课提出了事件的关系、事件的运算等两部分.学生将通 过新旧知识的对比学习来进行自主学习，同时通过共同探讨来理解和掌握新知识的实际含义. 课程目标 1．理解并掌握时间的关系和运算． 2．能够将事件的运算关系知识灵活运用到实际事件中． 数学学科素养 1.数学抽象：事件的关系和运算． 重点：事件运算关系的实际含义． 难点：事件运算关系的应用. 教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 一、情景导入 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件 C1＝{出现 1 点}，事件 C2＝{出现 2 点}，事件 C3 ＝{出现 3 点}，事件 C4＝{出现 4 点}，事件 C5＝{出现 5 点}，事件 C6＝{出现 6 点}，事件 D1＝{出现的点 数不大于 1}，事件 D2＝{出现的点数大于 3}，事件 D3＝{出现的点数小于 5}，事件 E＝{出现的点数小于 7}， 事件 F＝{出现的点数为偶数}，事件 G＝{出现的点数为奇数}. 你还能写出这个实验中其他一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件.借助集合与集合的关系和运 算，你能发现这些事件之间的联系吗？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本 229-232 页，思考并完成以下问题 1.事件的关系或运算的含义？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1. 事件的关系与运算 定义 表示法 图示
事包含般地，对于事件A与事件B，如果事件A发B2A（或件关系ACB)生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事的件A(或称事件A包含于事件B)运算并事若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发AUB（或件B生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或A+B)和事件)交事若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发ANB（或件AB)生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或B积事件)互斥若ANB为不可能事件，则称事件A与事件B互若ANB=关系斥0，则A与B互斥对立1若ANB为不可能事件，AUB为必然事件，那若 AnB=关系么称事件A与事件B互为对立事件，可记为B0, AUB==A或A-BU,则A与B对立探究1（1)并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？(2)互斥事件和对立事件的关系是怎样的？答案（1)并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样，(2)互斥事件包括对立事件，即对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件探究2从运算的含义总结事件的关系或运算？事件的关系或运算含义符号表示包含ACBA发生导致B发生并事件(和事件)A与B至少一个发生AUB或A+B交事件(积事件）A与B同时发生ANB或ABA与B不能同时发生ANB=O互斥(互不相容）互为对立A与B有且仅有一个发生ANBO，AUB=Q四、典例分析、举一反三题型一事件关系的判断例1一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R,="第一次摸到红球"，R,=“第二次摸到红球"，R=两次都摸到红球”，G-“两次都摸到绿球”，M-“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件：
事 件 的 运 算 包 含 关系 一般地，对于事件 A 与事件 B，如果事件 A 发 生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含事 件 A(或称事件 A 包含于事件 B) B⊇A ( 或 A⊆B ) 并 事 件 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发 生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或 和事件) A ∪ B ( 或 A+B) 交 事 件 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发 生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或 积事件) A∩B ( 或 AB) 互 斥 关系 若 A∩B 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互 斥 若 A∩B ＝ ∅，则 A 与 B 互斥 对 立 关系 若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，那 么称事件 A 与事件 B 互为对立事件，可记为 B ＝𝐴̅或 A＝𝐵̅ 若 A∩B ＝ ∅，A∪B＝ U，则 A 与 B 对立 探究 1 (1)并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？ (2)互斥事件和对立事件的关系是怎样的？ 答案 (1)并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样． (2)互斥事件包括对立事件，即对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件. 探究 2 从运算的含义总结事件的关系或运算？ 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A 发生导致 B 发生 A⊆B 并事件(和事件) A 与 B 至少一个发生 A∪B 或 A＋B 交事件(积事件) A 与 B 同时发生 A∩B 或 AB 互斥(互不相容) A 与 B 不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 A 与 B 有且仅有一个发生 A∩B＝∅，A∪B＝Ω 四、典例分析、举一反三 题型一 事件关系的判断 例 1 一个袋子中有大小和质地相同的 4 个球，其中有有 2 个红色球（标号为 1 和 2），2 个绿色球（标号为 3 和 4），从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球.设事件 R1 =“第一次摸到红球”，R2 =“第二次摸到红球”，R=“两 次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”. （1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2）事件R与R，R与G，M与N之间各有什么关系？（3）事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R与事件R的交事件与事件R有什么关系？【答案】（1）详见解析（2）事件R包含事件R：事件R与事件G互斥：事件M与事件N互为对立事件（3）事件M是事件R与事件G的并事件：事件R是事件R与事件R的交事件【解析】（1）所有的试验结果如图所示，8888800880808用数组(x,x）表示可能的结果,x,是第一次摸到的球的标号,x是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空间2=((1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)事件R=第一次摸到红球"即x =1或 2,于是R =(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4);事件R="第二次摸到红球",即x,=1或2,于是R=(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2))同理,有 R= (1,2),(2,1),G= (3,4),(4,3), M=(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)N = ((1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2))(2）因为RR,所以事件R包含事件R：因为RNG=O所以事件R与事件G互斥：因为MUN=Q,MnN=O,所以事件M与事件N互为对立事件（3）因为RUG=M所以事件M是事件R与事件G的并事件：因为RnR=R,所以事件R是事件R与事件R的交事件解题技巧（事件关系的判断方法）(1)两个事件是互斥事件还是对立事件，要根据互斥事件与对立事件的定义来判断，互斥事件是在任何一次试验中不能同时发生的两个事件，对立事件除要求两个事件互斥外，还要求在一次试验中必有一个事件发生(2)对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，跟踪训练一1.判断下列各事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由
（2）事件 R 与 R1，R 与 G，M 与 N 之间各有什么关系？ （3）事件 R 与事件 G 的并事件与事件 M 有什么关系？事件 R1 与事件 R2 的交事件与事件 R 有什么关系？ 【答案】（1）详见解析（2）事件 R1 包含事件 R；事件 R 与事件 G 互斥；事件 M 与事件 N 互为对立事件（3） 事件 M 是事件 R 与事件 G 的并事件；事件 R 是事件 R1 与事件 R2 的交事件. 【解析】（1）所有的试验结果如图所示, 用数组 ( x x 1 2 , ) 表示可能的结果, 1 x 是第一次摸到的球的标号, 2 x 是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空 间 =(1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,1 , 2,3 , 2,4 , 3,1 , 3,2 , 3,4 , 4,1 , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4,2 , 4,3 ) ( ) 事件 R1=“第一次摸到红球”,即 1 x =1 或 2,于是 R1 =(1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,1 , 2,3 , 2,4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ； 事件 R2 =“第二次摸到红球”,即 2 x =1 或 2,于是 R2 =(2,1 , 3,1 , 4,1 , 1,2 , 3,2 , 4,2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 同理,有 R =(1,2 , 2,1 ) ( ), G =(3,4 , 4,3 ) ( ), M =(1,2 , 2,1 , 3,4 , 4,3 ) ( ) ( ) ( ), N =(1,3 , 1,4 , 2,3 , 2,4 , 3,1 , 3,2 , 4,1 , 4,2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . （2）因为 R R 1 ,所以事件 R1 包含事件 R；因为 R G = ,所以事件 R 与事件 G 互斥； 因为 M N = , M N = ,所以事件 M 与事件 N 互为对立事件. （3）因为 R G M= ,所以事件 M 是事件 R 与事件 G 的并事件； 因为 R R R 1 2 = ,所以事件 R 是事件 R1 与事件 R2 的交事件. 解题技巧（事件关系的判断方法） (1)两个事件是互斥事件还是对立事件，要根据互斥事件与对立事件的定义来判断，互斥事件是在任何 一次试验中不能同时发生的两个事件，对立事件除要求两个事件互斥外，还要求在一次试验中必有一个事 件发生． (2)对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件． 跟踪训练一 1. 判断下列各事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生：(3)至少有1名男生和全是男生：(4)至少有1名男生和全是女生【答案】（1)是互斥事件，不是对立事件，（2)不是互斥事件，也不是对立事件(3)不是互事件，也不是对立事件。(4)是互斥事件，也是对立事件，理由见解析【解析】（1)是互斥事件，不是对立事件理由是：在所选的2名同学中，恰有1名男生”实质是选出1名男生和1名女生”，它与恰有2名男生不可能同时发生，所以是一对互斥事件，但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件(2不是互斥事件，也不是对立事件。理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和"2名都是男生”两种结果“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和"2名都是女生”两种结果，它们可同时发生(3)不是互斥事件，也不是对立事件理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和"2名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生（4）是互斥事件，也是对立事件理由是：“至少有1名男生”包括”1名男生、1名女生”和2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生：其并事件是必然事件，所以是对立事件，题型二事件的运算例2如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”甲乙(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间：(2)用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；(3)用集合的形式表示事件AUB和事件AnB，并说明它们的含义及关系，【答案】（1)样本空间为Q=((0,0)，(0,1)，（1,0)，（1,1))(2)A=(1,0),(1,1), B=(0,1), (1,1)),A =(0,0), (0,1), B=((0,0), (1,0))(3)4UB=((0,I)，（1,0)，（1,1)，An B=((0,0)：AUB表示电路工作正常，An B表示电路工作不正常：AUB和ANB互为对立事件【解析】（1)用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1，x2)表示这个并联电路的状态：以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Q=((0,0)，(0,1)，（1,0)，（1,1)(2)根据题意，可得A=((1,0),(1,1)),B=t(0,1),(1,1)),A=((0,0),(0,1)),B =((0,0),(1,0))
某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，其中： (1)恰有 1 名男生和恰有 2 名男生；(2)至少有 1 名男生和至少有 1 名女生； (3)至少有 1 名男生和全是男生；(4)至少有 1 名男生和全是女生． 【答案】(1)是互斥事件，不是对立事件．(2)不是互斥事件，也不是对立事件． (3)不是互斥事件，也不是对立事件．(4)是互斥事件，也是对立事件．理由见解析 【解析】 (1)是互斥事件，不是对立事件． 理由是：在所选的 2 名同学中，“恰有 1 名男生”实质是选出“1 名男生和 1 名女生”，它与“恰有 2 名男 生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件． (2)不是互斥事件，也不是对立事件． 理由是：“至少有 1 名男生”包括“1 名男生、1 名女生”和“2 名都是男生”两种结果． “至少有 1 名女生”包括“1 名女生、1 名男生”和“2 名都是女生”两种结果，它们可同时发生． (3)不是互斥事件，也不是对立事件． 理由是：“至少有 1 名男生”包括“1 名男生、1 名女生”和“2 名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生． (4)是互斥事件，也是对立事件． 理由是：“至少有 1 名男生”包括“1 名男生、1 名女生”和“2 名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可 能同时发生．其并事件是必然事件，所以是对立事件． 题型二 事件的运算 例 2 如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件 A＝“甲元件正常”， B＝“乙元件正常”． (1)写出表示两个元件工作状态的样本空间； (2)用集合的形式表示事件 A，B 以及它们的对立事件； (3)用集合的形式表示事件 A∪B 和事件 A ∩ B ，并说明它们的含义及关系． 【答案】 (1)样本空间为 Ω＝{(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)}． (2)A＝{(1,0)，(1,1)}，B＝{(0,1)，(1,1)}， A ＝{(0,0)，(0,1)}， B ＝{(0,0)，(1,0)}． (3)A ∪B＝{(0,1)，(1,0)，(1,1)}， A ∩ B ＝{(0,0)}；A∪B 表示电路工作正常， A ∩ B 表示电路工作不 正常；A∪B 和 A ∩ B 互为对立事件． 【解析】 (1)用 x1，x2 分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1，x2)表示这个并联电路的状态．以 1 表示元件正常，0 表示元件失效，则样本空间为 Ω＝{(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)}． (2)根据题意，可得 A＝{(1,0)，(1,1)}，B＝{(0,1)，(1,1)}， A ＝{(0,0)，(0,1)}， B ＝{(0,0)，(1,0)}．
(3)AUB=(01)，（10），（1I)，AnB=(0O)：AUB表示电路工作正常，AB表示电路工作不正常：AUB和ANB互为对立事件解题技巧：（事件运算的规律）（1)利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算。(2)利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，并进行运算跟踪训练二1.盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A=（3个球中有1个红球2个白球），事件B=（3个球中有2个红球1个白球），事件C=（3个球中至少有1个红球），事件D=(3个球中既有红球又有白球！求：（1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？【答案】 (1)D=AUB. (2)CnA=A.【解析】（1)对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，I1个白球，故D=AUB(2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，所以ACC，故 CnA=A.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计10.1.2事件的关系和运算例 1例21.事件的关系和运算七、作业课本233页练习，243页习题10.1的15题教学反思由于事件的抽象性，所以教学时将大量采用“韦恩图帮助学生理解事件的关系，同时强调区分事件关系、运算与集合的关系、运算的区别与联系
(3)A ∪B＝{(0,1)，(1,0)，(1,1)}， A ∩ B ＝{(0,0)}；A∪B 表示电路工作正常， A ∩ B 表示电路工作不 正常；A∪B 和 A ∩ B 互为对立事件． 解题技巧： (事件运算的规律) (1)利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事 件间的运算． (2)利用 Venn 图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在 图中列出，并进行运算． 跟踪训练二 1. 盒子里有 6 个红球，4 个白球，现从中任取 3 个球，设事件 A＝{3 个球中有 1 个红球 2 个白球}，事件 B ＝{3 个球中有 2 个红球 1 个白球}，事件 C＝{3 个球中至少有 1 个红球}，事件 D＝{3 个球中既有红球又有 白球}． 求：(1)事件 D 与 A，B 是什么样的运算关系？ (2)事件 C 与 A 的交事件是什么事件？ 【答案】(1) D＝A∪B．(2)C∩A＝A． 【解析】(1)对于事件 D，可能的结果为 1 个红球，2 个白球或 2 个红球，1 个白球，故 D＝A∪B． (2)对于事件 C，可能的结果为 1 个红球，2 个白球或 2 个红球，1 个白球或 3 个均为红球，所以 A⊆C， 故 C∩A＝A． 五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 七、作业 课本 233 页练习，243 页习题 10.1 的 15 题. 由于事件的抽象性，所以教学时将大量采用“韦恩图”帮助学生理解事件的关系，同时强调区分事件关系、 运算与集合的关系、运算的区别与联系. 10.1.2 事件的关系和运算 1. 事件的关系和运算 例 1 例 2