§1幂级数 n!(n-2)! 所以 y !(n-2)!+n!(n-1)!-[(n-1)!]1 =∑[(n-1)(n,=1)+(n1)!-n!1x21=0 n![(n-1)!]2 5证明:设f(x)为幂级数∑anx"在(-R,R)上的和函数,若 ∫(x)为奇函数,则该级数仅出现奇次幂的项,若f(x)为偶函数则该 级数仅出现偶次幂的项 证因为f(x)=∑anx”,(|x|<R),所以有f(-x)= ∑(-1)anx"(x1<R),当f(x)为奇函数时,有∫(x)+f(-x)= 0(1x1<R),从而an+(-1)%an=0(n=0,1,…)而此式当且仅当 a2A=0(k=0,1,2,…),故这时必有∫(x)=a2x-1x2k1 (x<R),当f(x)为偶函数时,f(x)-f(-x)=0(1x1<R), 从而an-(-1)nan=0(n=0,1,…)而此式当且仅当a2k-1=0 (k=1,2,…),故这时必有f(x)=∑a2x 6.求下列幂级数的收敛域: (1) n(a>0,b>0); (2)2(1+) 解(1)记a=-1,则im1n"|=maxa,b所以收敛半 343
第十四章幂级数 径R=maxa,b},由于1x1=R时,mnR"=1≠0,故这个幂 级数在x=±R处发散,从而此幂级数的收敛域为(-R,R) (2)因为lmn%an1=hm、(1+1)x2=hm(1+1)=e所 以收敛半径R=,又因为当x=±时,有Imn(1+1y2(+1y≠0 所以这个幂级数在x=±1处发散,故此幂级数的收敛域为 11 7.证明定理14.3,并求下列幂级数的收敛半径 (1)∑13+(-1)"x; (2)a+bx+ax2+bx3+…,(0<a<b) 定理14.3对于幂级数∑an,设p=im√an1,R为收敛半 径,则当 1)0<p<+∞时,R=1 ()p=0时,R=+∞; (ⅲ)P=+∞时,R=0 证对于任意的x,1an1=Ian11x1,因此 limi anrm|=im(an|x1)=P1x1.于是根据正项级数 Cauchy判别法的推论2知:当p1x1<1时,级数∑1anxn1收敛,从 而∑an收敛;当p1x1>1时,可知1an|不趋于零(n→∞),于 是an不趋于零(n→∞),从而可知∑anx发散因此, n=0
81幂级数 (1)当0<P<+∞时,幂级数∑anx2的收敛半径R=1 (i)当p=0时,对任何x皆有p|x1<1,所以R=+∞; (ⅲ)当p=+∞时,则除x=0外,对任何x皆有p|x1>1,所 以可知R=0 解(1)对∑3+(-1)”1 x,因为上极限 駟3+D==4所以R= (2)对于a+bx+ax2+bx3+…(0<a<b)因为im√|an =lim物b=1,所以R=1 8.求下列幂级数的收敛半径及其和函数: (1) n(n+1) (2) 4n(n+1)(n+2 解(1)因为m√n(n+15=1,故收敛半径R=1,当x=±1 时级数∑ n(n+1 >(-1都收敛,故这个幂级数的收敛域 是[-1,1]设g(x)=x n(n+1) =】n(n+1) 则当1x1<1时 g(x)=∑n,g()=∑x1=1 从而可得, dt g (1-)h=-h(1-)+m:d =-xln(1-x)+x+ln(1-x) =(1-x)ln(1-x)+x 345