复旦大学：《数学分析》第十章 函数项级数（10.1）函数项级数的一致收敛性习题

第十章函数项级数 习题10.1函数项级数的一致收敛性 1.讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。 1)S(x)=c, (1)x∈(0,1), (i)x∈(1,+∞) (2)S(x)=xe", x∈(0,+∞) (3)S,(x)=sin (1)x∈(-∞,+∞), (i)x∈[-A,4](A>0); (4)Sn(x)=arctan nx (1)x∈(0,1), (i)x∈(1+∞); (5)S(x)=1x2+, x∈(-∞,+∞); x∈[0,1] (7)Sn(x)=In- (1)x∈(0,1), (i)x∈(1+∞); (8)Sn(x)= (1)x∈(0,1) (i)x∈(1,+∞); (9)S(x)=(sinx)", x∈[0,x]; 0S队(x)=(sinx),(i)x∈[0,z],(i)x∈[,丌-6](δ>0) )S(x)=(1+x), (1)x∈(0,+∞),(i)x∈(0,4](A>0); n (2)S,(x)= x (i)x∈(0+∞),(i)x∈[6+∞)δ>0。 解(1)(i)S(x) d(Sn,S)=Sup|S2(x)-S(x)=1—/→0(n→∞), 所以S(x)在0.1)上非一致收敛 d(Sn,S)=sup|Sn(x)-S(x)=e-→0(n→∞), 所以{Sx)在(1+∞)上一致收敛 (2)S(x)=0 d(Sn,S)=sup|sn(x)-S(x)=→0(n→∞)

第十章 函数项级数 习 题 10. 1 函数项级数的一致收敛性 1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。 ⑴ Sn(x) = , (i) x −nx e ∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞)； ⑵ Sn(x) = x , x −nx e ∈ (0,+∞)； ⑶ Sn(x) = sin n x , (i) x∈ (−∞,+∞) ， (ii) x∈ [−A, A]( A > 0)； ⑷ Sn(x) = arctan nx, (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞)； ⑸ Sn(x) = 2 2 1 n x + , x∈ (−∞,+∞) ； ⑹ Sn(x) = nx(1 - x) n , x∈ [0,1]； ⑺ Sn(x) = n x ln n x , (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞) )； ⑻ Sn(x) = n n x x 1+ , (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞)； ⑼ Sn(x) = (sin x) n , x∈ [0,π ]； ⑽ Sn(x) = (sin x) n 1 , (i) x∈ [0,π ]， (ii) x∈ [δ ,π − δ ]（δ > 0）； ⑾ Sn(x) = n n x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1+ , (i) x∈ (0,+∞)， (ii) x∈ (0, A]( A > 0)； ⑿ Sn(x) = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − x n n x 1 , (i) x∈ (0,+∞) , (ii) x ∈[δ ,+∞), δ > 0。 解 （1）(i) S(x) = 0， ( , ) sup ( ) ( ) (0,1) d S S S x S x n x n = − ∈ = 1 ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(0,1)上非一致收敛。 (ii) S(x) = 0， ( , ) sup ( ) ( ) (1, ) d S S S x S x n x n = − ∈ +∞ n e− = → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在(1,+∞)上一致收敛。 （2）S(x) = 0， ( , ) sup ( ) ( ) (0, ) d S S S x S x n x n = − ∈ +∞ ne 1 = → 0 (n → ∞)， 1

所以{S(x)在(0.+)上一致收敛。 d(sn, S)=sup S,(x)s(x)= 所以{S(x)在(-m,+∞)上非一致收敛 (i)s(x)=0,当n d(Sn,S)= sup S(x)-S(x)≤→0(n→∞), 所以{S(x)}在[-A,4上一致收敛 (4)(i)S(x)=x d(Sn,S)= supS(x)-(x=x-/→0(n→) 所以S(x)在01)上非一致收敛 (i)S(x)= d(n,S)=sup ISn(x)-S(x) arctan n- 所以Sx)在(1+∞)上一致收敛 (5)S()=,由于(x)-(x)=1x2+-≤,于是 d(Sn,S)=supS(x)-S(x)→0(n→∞), 所以{S(x)在(-,+∞)上一致收敛 (6)S(x)=0, Sn()-S(-)=(1--) 0(n→∞), 所以{Sx)在0上非一致收敛。 (7)(i)S(x)=0,由于Sn(0+)-S(+)=0,且

所以{S x n ( )}在(0,+∞)上一致收敛。 （3）(i) S(x) = 0， ( , ) sup ( ) ( ) ( , ) d S S S x S x n x n = − ∈ −∞ +∞ = 1 ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在( , −∞ +∞)上非一致收敛。 (ii) S(x) = 0，当 π A n 2 > ， ( , ) sup ( ) ( ) [ , ] d S S S x S x n x A A n = − ∈ − n A ≤ → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在[ , −A A]上一致收敛。 （4）(i) 2 ( ) π S x = ， ( , ) sup ( ) ( ) (0,1) d S S S x S x n x n = − ∈ 2 π = ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(0,1)上非一致收敛。 (ii) 2 ( ) π S x = ， ( , ) sup ( ) ( ) (1, ) d S S S x S x n x n = − ∈ +∞ arctan n 2 = − π → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在(1,+∞)上一致收敛。 （5）S(x) = x ，由于 n x n S x S x x n 1 1 ( ) ( ) 2 2 − = + − ≤ ，于是 ( , ) sup ( ) ( ) ( , ) d S S S x S x n x n = − ∈ −∞ +∞ → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在( , −∞ +∞)上一致收敛。 （6）S(x) = 0， − ) = 1 ) ( 1 ( n S n Sn n n ) 1 (1− ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在[0,1]上非一致收敛。 （7）(i) S(x) = 0，由于Sn (0+) − S(0+) = 0 ，且 2

=-(1+ln-)<0(n≥2), 于是 d(Sn,S=supS(x)-S(x) an →0(n→∞), 所以{S(x)在(0.)上一致收敛 (i)S(x)=0, S,, (2n)-S(2n)=2 In 2 n→0), 所以{S(x)在(+∞)上非一致收敛。 (8)(i)S(x)=0 Sn(1--)-S(1--)= -/→0(n→>∞), 所以{S(x)在(0,1)上非一致收敛。 (i)S(x)=1, 1+ Sn(+-)-S(1+-)= n→)0) 1+(1 所以{S(x)在(+0)上非一致收敛。 (9)S(x)= ,取xn∈[0,n],使得snxn=1-,则 0,z].x≠z Sn(xn)-S(xn)=(1--) 0( 所以{S(x)在[0上非一致收敛 (10)(05(7-=0x=0 取xn∈(0,x),使得 SIn x=-,则 10<x<丌

[ ] S (x) − S(x) = dx d n (1 ln ) 0 1 + < n x n (n ≥ 2)， 于是 n n d S S S x S x n x n ln ( , ) sup ( ) ( ) (0,1) = − = ∈ → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在(0,1)上一致收敛。 (ii) S(x) = 0， Sn (2n) − S(2n) = 2ln 2 ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(1,+∞)上非一致收敛。 （8）(i) S(x) = 0， − − − ) = 1 ) (1 1 (1 n S n Sn n n n n ) 1 1 (1 ) 1 (1 + − − ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(0,1)上非一致收敛。 (ii) S(x) = 1， + − + ) = 1 ) (1 1 (1 n S n Sn 1 ) 1 1 (1 ) 1 (1 − + + + n n n n ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(1,+∞)上非一致收敛。 （9） ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ≠ = = 2 0 [0, ], 2 1 ( ) π π π x x x S x ，取 ∈[0,π ] n x ，使得 n xn 1 sin = 1− ，则 2 π xn ≠ ， Sn (xn ) − S(xn ) = n n ) 1 (1− ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在[0,π ]上非一致收敛。 （10）(i) ，取 ⎩ ⎨ ⎧ < < = = π π x x S x 1 0 0 0, ( ) ∈ (0,π ) n x ，使得 n n x 2 1 sin = ，则 3

Sn(xn)-S(xn)=-1-/→0(n→∞), 所以{S、x)在(0,x)上非一致收敛 d(Sn,S)= sup S(x)-S(x)=1-sin”→0(n→∞), 所以{S(x)在z-6]上一致收敛 (11)(i)S(x)=e, S(n)-S(n)=2"-e"-/→0(n→∞), 所以{S(x}在(0,+∞)上非一致收敛。 (i)S(x)=e2,由于Sn(0+)-S(0+)=0,且当n充分大时, S, (x)-S(x)I 0 dx 于是 d(Sn,S)=sup(, (x)-S(x)=e-1 →0(n→∞), n 所以{Sx)在(0,上一致收敛 (12)(1)S(x)= 2 所以{S(x)在(0,+∞)上非一致收敛。 (iiS(x) 2 x+-+√x

Sn (xn ) − S(xn ) = 1 2 1 − ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(0,π ) 上非一致收敛。 (ii) S(x) = 1， d(S , S) sup S (x) S(x) n = n − x∈[δ ,π −δ ] δ n 1 = 1− sin → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在[ , δ π −δ ]上一致收敛。 （11）(i) S(x) = ex ， Sn (n) − S(n) = n n 2 − e ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(0,+∞)上非一致收敛。 (ii) S(x) = e x ，由于Sn (0+) − S(0+) = 0 ，且当n充分大时， [ ] S (x) − S(x) = dx d n 1 0 1 ⎟ − < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − x n e n x ， 于是 ( , ) sup ( ) ( ) (0, ] d S S S x S x n x A n = − ∈ n A n A e ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 1+ → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在(0, A]上一致收敛。 （12）(i) x S x 2 1 ( ) = ， − ) = 1 ) ( 1 ( n S n Sn ⎟ n ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 3 2 ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(0,+∞)上非一致收敛。 (ii) x S x 2 1 ( ) = ， Sn(x) = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − x n n x 1 ( ) 2 1 1 1 S x x x n x < = + + = ， 4

由于 S,(x)-S(x)= 2x(x+-)(√x+1x+-)4 可知 d(Sn,S)=sup Sn(x)-S(x)=sn(8)-S(8) δ+--√δ6 →0(n→∞), 所以{S(x)}在,+∞)上一致收敛 2.设S(x)=m(xn-x2"),则函数序列{S(x)}在[0上收敛但不一致 收敛,且极限运算与积分运算不能交换,即 imnS)dx≠mS(x)dxs 证函数序列{S(x)在[上收敛于S(x)=0。取xn=1-1,则 S(xn)-S(xn)=n(1-)”-(1- →)+ 所以{Sn(x)}在0上非一致收敛。 由于 lim [s, (x)dx= lim m(x-x2mydx=t, lim Sn(x)dx=0 n→)0 所以 lim S,(x)dx+[lim S,(x)dx 3.设S(x)=1+nx2,W (1)函数序列{Sx)}在(-∞+∞)上一致收敛; dx()在(+2)上不一致收敛 (3)极限运算与求导运算不能交换,即 lim d sn(x)= lim S,(x) x 并不对一切x∈(-∞,+∞)成立 解(1)S(x)= (x)=0,则 S,(x)-S(x) 0(n 11+n2x22n

由于 [ ] 0 4 1 ) 1 )( 1 2 ( 1 ( ) ( ) 2 3 + > + + + − − = x n x x n x x S x S x dx d n ， 可知 ( , ) sup ( ) ( ) [ , ) d S S S x S x n x n = − ∈ δ +∞ S (δ ) S(δ ) = n − δ δ δ 2 1 1 +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + − n n → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在[ , δ +∞)上一致收敛。 2. 设Sn(x) = n( n x - n x 2 )，则函数序列{S (x)}在 上收敛但不一致 收敛，且极限运算与积分运算不能交换，即 n [0,1] n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n dx ≠ ∫ →∞ 1 0 limn Sn(x) dx。 证 函数序列{Sn(x)}在[0,1]上收敛于S(x) = 0。取 n xn 1 = 1− ，则 Sn (xn ) − S(xn ) = → +∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − n n n n n 2 ) 1 ) (1 1 (1 ， 所以{Sn(x)}在[0,1]上非一致收敛。 由于 n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n dx →∞ = n lim n x x x n n ( )d 1 0 2 ∫ − 2 1 = ， S ∫ →∞ 1 0 limn n(x) dx = 0， 所以 dx n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n ≠ ∫ →∞ 1 0 limn Sn(x) dx。 3. 设Sn(x) = 2 2 1 n x x + ，则 ⑴ 函数序列{Sn(x)}在(−∞,+∞) 上一致收敛； ⑵ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ( ) d d S x x n 在(−∞,+∞) 上不一致收敛； ⑶ 极限运算与求导运算不能交换，即 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 并不对一切 x∈ (−∞,+∞) 成立。 解 （1）Sn(x)= 2 2 1 n x x + ，S(x) = 0，则 n x n x S x S x n 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 ≤ + − = → 0(n → ∞)， 5