第七节常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程定义二阶常系数齐次线性方程解法1n阶常系数齐次线性方程解法■小结思考题
◼ 二阶常系数齐次线性方程定义 ◼ 二阶常系数齐次线性方程解法 ◼ n阶常系数齐次线性方程解法 ◼ 小结 思考题 第七节 常系数齐次线性微分方程 常系数齐次
一、定义y(m)+Ply(n-1)+...+P-ly'+P.y= f(x)形如n阶常系数线性微分方程y" + py' + qy = 0二阶常系数齐次线性方程y" + py' +qy= f(x)二阶常系数非齐次线性方程
n阶 y + py + qy = 0 方程 y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y P y Pn y Pn y f x n n + + + − + = − 常系数 线性微分方程 二阶常系数 齐次线性 一、定义 形如
二、二阶常系数齐次线性方程解法特征方程法y" + py' + qy = 0二阶常系数齐次线性方程设解 =e其中r为待定常数.将其代入方程,得:ex+0,(r2 + pr + g)erx = 0特征方程故有 r2+pr+=0(characteristic equation)'i,2 ==P±p-4g特征根2(characteristic root)
- 特征方程法 rx y = e 将其代入方程, ( ) 0 2 + + = rx r pr q e 0, rx e 故有 0 2 r + pr + q = 2 4 2 1,2 p p q r − − 特征根 = y + py + qy = 0 二阶 设解 得 特征方程 常系数齐次线性方程 (characteristic equation) (characteristic root) 二、二阶常系数齐次线性方程解法 其中r为待定常数
设解 =e其中r为待定常数特征根r的不同情况决定了方程y"+py+qy=0的通解的不同形式r? + pr+q= 0特征方程※有两个不相等的实根(△>0)=P-Vp-4gr ==p+Vp-4g22两个线性无关的特解Y1Ji =e'x, J, =e'sx,≠常数Y2J =C,e'i*+C2e'2x得齐次方程的通解为
※ , 2 4 2 1 p p q r − + − = , 2 4 2 2 p p q r − − − = , 1 1 r x y = e , 2 2 r x y = e 两个 特解 y = ( 0) y + py + qy = 0 的通解的不同形式. 有两个不相等的实根 特征根r的不同情况决定了方程 0 2 r + pr + q = 特征方程 r x e 1 C2 r x e 2 C1 + 2 1 y y 常数 线性无关的 得齐次方程的通解为 rx 设解 y = e 其中r为待定常数
设解y=e其中r为待定常数(△ = 0)※有两个相等的实根p+常数一特解为y, =exr=r=2'Jyi设 y2 =u(x)e'ix,其中u(x)为待定函数将 y2，，"代入到y"+ py'+qy=0.化简得u" +(2r + p)u' +(r? + pr +q)u = 0,=0=0知 u"=0, 取u(x)=x, 则 J2 =xe'ix,得齐次方程的通解为 y=C,e'"*+C,xe'ix= (Ci +C2x)e'ix
※有两个相等的实根 , 1 1 r x , y = e 2 1 2 p r = r = − ( = 0) 一特解为 r x C C x e 1 ( ) = 1 + 2 将 y2 ，y 2 ，y 2 代入到 (2 ) ( ) 0, 1 2 u + r1 + p u + r1 + pr + q u = u = 0, u(x) = x, , 1 2 r x y = xe y2 = 常数 1 2 y y y + py + qy = 0. 化简得 其中u(x)为待定函数. = 0 = 0 设 u(x) , r1 x e 知 取 则 y = r x e 1 r x xe 1 + 得齐次方程的通解为 C1 C2 rx 设解 y = e 其中r为待定常数