《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 微分方程 7-2 第二节 可分离变量微分方程

第二节可分离变量微分方程

第二节 可分离变量微分方程

可分离变量的微分方程如果一阶微分方程 F(x,y,J)=0可以写成y= f(x)g(y) 的形式可分离变量的方程或M(x)M2(y)dx + N,(x)N2(y)dy = 0易于化为形式@(x)dxy(y)dy特点 等式的每一边仅是一个变量的函数与这个变量的微分之积两端积分可得通解

 ( y)dy  ( x)dx 如果一阶微分方程 等式的每一边仅是一个变量的函数与这个 可分离变量的方程 y  f (x)g( y) M1(x)M2 ( y)dx  N1(x)N2 ( y)dy  0 或 可以写成 F(x, y, y)  0 的形式, 易于化为形式 特点 变量的微分之积. 两端积分可得通解. 可分离变量的微分方程

可分离变量的方程求通解的步骤是：1.分离变量把方程化为的形式；y(y)dy = @(x)dxy(y)dy = (p(x)dx| +C;2.将上式两边积分其中C为任意常数.由上式确定的函数y=y(x,C)就是方程的通解(隐式通解)这种解方程的方法称为分离变量法

可分离变量的方程求通解的步骤是: 分离变量, 两边积分 其中C为任意常数. y  y(x,C) 就是方程的通解 分离变量法. 1. 把方程化为 ( y)dy  (x)dx 的形式； 2. 由上式确定的函数 (隐式通解). 这种解方程的方法称为 将上式 ( )d ( )d ; ò ò  y y   x x C

例1 求方程 x(1+ y2)dx -y(1+x2)dy=0的通解，xy解分离变量dxd+Xyx两端积分dxdi11+xIn(1=InCn222In(1 + y) = In C(1 + x°):1+y2=C(1+x2）为方程的通解隐式通解

例1 求方程 (1 )d (1 )d 0 的通解. 2 2 x  y x  y  x y  解 分离变量 x x x y y y d 1 d 1 2 2    两端积分   ò y y y d 1 2 ln(1 ) 2 1 ln(1 ) 2 1 2 2  y   x ln(1 ) ln (1 ) 2 2  y  C  x 1 (1 ) 2 2   y  C  x 为方程的通解. lnC 2 1  隐式通解 ò  x x x d 1 2

求方程xy=ylny的通解Jlydy=idt解xdlny=-dxInyxInIn y = In x + InC = InCxIn y = Cx通解为y=eCx

解 x x y y y d 1 d ln 1  ò ò ò ò  x x y y d 1 dln ln 1 lnln y  ln x  lnC  lnCx ln y  Cx Cx 通解为y  e 求方程xy   y ln y的通解