《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 微分方程 7-8 第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程

第八节二阶常系数非齐次线性微分方程f(x)=exPm(x)型f(x) = ex[P(x)cosax+ P,(x)sinax)型■小结思考题

第八节 二阶常系数非齐次 线性微分方程 非齐次 ◼ ◼ ◼ 小结 思考题 f (x) = e xPm (x)型 f x e Pl x x x   ( ) = [ ( )cos + Pn (x)sinx]型

一、f(x)=ePm(x)型y" + py' + qy = f(x)二阶常系数非齐次线性方程Pm(x)er,f(x)的类型Pm(x),Pm(x)e** cos Bx,Pm(x)e** sin βx,Pm(x)是m次多项式y=Y+y*通解结构y" + py' + qy = 0对应齐次方程难点如何求非齐次方程特解？方法待定系数法

方程 对应齐次方程 y  + py  + qy = 0 通解结构 P (x), m ( ) , x mP x e  P (x)e cos x, x m   P (x)e sin x, x m   y = Y + f (x) 难点 方法 二阶常系数非齐次线性 f (x)的类型 Y y Pm (x)是m次多项式 y + py + qy = 一、f (x) = e x Pm (x)型 如何求非齐次方程特解？ 待定系数法

2y" + py' +qv = Pm(x)e设非齐方程特解为 y*=Q(x)ex求导代入原方程Q"(x)+(2a + p)Q'(x)+(2 + pa +q)Q(x) = Pm(x) 0(1)若a不是特征方程的根y* = Qm(x)exx可设Q()=Q. (x)Q"(x)+(2a + p)Q(x)+ (( + pa +q)Q(x) = Pm(x)= 00(2)若a是特征方程的单根y* = xQm(x)ear可设Q(x)=xQm(x)

设非齐方程特解为 y = Q(x) 求导代入原方程 ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Q  x +  + p Q x +  + p + q Q x = Pm x (1) 若不是特征方程的根 可设 (2) 若是特征方程的单根 可设Q(x) = x m y xQ x e   = ( ) x m y Q x e   = ( ) x e  Q(x) m = Q ( x) Q (x) x m Q(x) x m y py qy P x e   +  + = ( ) m  0 ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Q  x +  + p Q x +  + p + q Q x = Pm x  0 = 0

y" + py'+ qy = e Pm(x)Q"(x)+(2a+ p)Q(x) + (a? + pa +q)Q(x) = Pm(x)=0-0(3)若是特征方程的重根y* = x"Om(x)ear可设Q(x)=xQm(x)综上讨论不是根0设 y*=xe*Qm(x), k=}是单根1是重根2注上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数)

(3) 若是特征方程的重根 可设Q(x) = 综上讨论 y x e Q (x) , m k x 设  =      k = x m y x Q x e  ( ) 2  = 注 Q (x) m 2 x y py qy e P (x) m x  +  + = ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Q  x +  + p Q x +  + p + q Q x = Pm x    1 0 2 = 0 = 0 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程(k是重根次数). 不是根 是单根 是重根

2X的通解例 求方程y"-3y'+2y=x解 此题f(x)=xe2×属于Pm(x)e型其中m=1,α=2(1) 求对应齐次方程的通解特征方程r2-3r+2=0特征根r =l, r2对应齐次方程通解Y =Ce* +Cze：=2是单根(2) 求非齐次方程的特解设 y* =x(Ax+ B)e2x

3 2 . 求方程 y − y + y = x e 2 x 的通解 解 对应齐次方程通解 特征方程 3 2 0 2 r − r + = 特征根 r1 = 1，r2 = 2 x x Y C e C e 2 = 1 + 2  = 2是单根， 设 y = 例 (1) 求对应齐次方程的通解 (2) 求非齐次方程的特解 此题 ( ) ( ) . f x = xe 2 x 属 于Pm x e x 型 其中 m = 1,  = 2 (Ax + B) 1 x x e ? 2