第六节高阶线性微分方程1二阶线性微分方程线性微分方程的解的结构■小结思考题
◼ 二阶线性微分方程 ◼ 线性微分方程的解的结构 ◼ 小结 思考题 第六节 高阶线性微分方程
一、二阶线性微分方程d?dy1形如+ P(x)+Q(x)y = f(x)2dxdx二阶线性微分方程当 f(x)=0时，二阶线性齐次微分方程当f(x)≠0时，二阶线性非齐次微分方程D(n+ P(x)(a-1)+ ...+ P-(x)y+ P,(x)y = f(x)n阶线性微分方程
二阶 ( ) ( ) d d ( ) d d 2 2 Q x y f x x y P x x y + + = 当 f (x) = 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f (x) 0时， 二阶线性非齐次微分方程 微分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y P x y P n x y P n x y f x n n + + + − + = − 形如 一、二阶线性微分方程 线性微分方程 f (x) n阶线性
线性微分方程的解的结构二、纟一阶齐次方程解的结构v"+ P(x)y'+Q(x)y =(1)定理1如果函数y (x)与y2(x)是方程(1)的两个解那末y=Ciyi(x)+C2J2(x)也是(1)的解,(Ci,C,是常数)叠加原理证 [Ciy"+C2y’]+P(x)[Ciyi +C2J2]+ Q(x)[Ci +C2y2]=C[y"+ P(x)y +Q(x)yl+C,[y2 + P(x)y2 +Q(x)y2)=0y=Ciyi(x)+Cy2(x)一定是通解
( ) ( ) y = C1 y1 x + C2 y2 x y + P(x) y + Q(x) y = 定理1 ( ) ( ) (1) , 如果函数y1 x 与y2 x 是方程 的两个解 那 末y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)也 是(1)的 ( , ). C1 C2是常数 证 [C1 y1 +C2 y 2 ]+ ( )[ ] 1 1 2 2 P x C y +C y ( )[ ] 1 1 2 2 + Q x C y +C y [ ( ) ( ) ] 1 1 1 1 = C y+ P x y +Q x y [ ( ) ( ) ] 2 2 2 2 +C y+ P x y +Q x y = 0 ( ) ( ) (1) , 如果函数y1 x 与y2 x 是方程 的两个解 叠 加 原 理 0 一定是通解 (1) 二、线性微分方程的解的结构 解, 1.二阶齐次方程解的结构
定义设yi,J2,,n为定义在区间I内的n个函数如果存在n个不全为零的常数,使得当x在该区间内恒等式成立kiyi + k2y2 +...+ k,y, = 0那未称这n个函数在区间I内线性相关否则称线性无关如1, cos2 x, sin’ x (x E (-o0,+oo)线性相关取k, =1,kz=k, =-1,有恒等式无关e1-cosx-sinx=0
线性无关 定义 n y , y , , y 设 1 2 0 k1 y1 + k2 y2 ++ kn yn 线性相关. 否则称线性无关. 如 1 cos ,sin ( ( , )) 2 2 ， x x x − + , ( ( , )) 2 − + − e e e x x ， x x 线性相关 取k1 = 1,k2 = k3 = −1,有恒等式 1 cos sin 0 2 2 − x − x 恒等式成立 如果存在n个不全为零的常数,使得当x在该区间内 那末称这n个函数在区间I内 为定义在区间I内的n个函数
y" + P(x)y + Q(x)y = 0 (1)Ji(x)≠常数,特别地若在I上有J2(x)则函数y(x)与y(x)在I上线性无关.如果函数y(x)与y(x)是方程(1)的两个定理2线性无关的特解,那末 y=Ciyi(x)+C2y2(x)也是(1)的通解为了求齐次线性方程的通解只要求它的两个线性无关的特解如 y"+ y= O, yi = cosx, y2 =sinx,且=tan x +常数, 通解y=C, cosx+C, sinx.J1
特别地 如 y + y = 0, cos , y1 = x x y y tan 1 2 且 = cos sin . y = C1 x +C2 x 则函数y1 (x)与y2 (x)在I上 线性无关. 定理2 如果函数y1 (x)与y2 (x)是方程(1)的两个 ( ) ( ) y = C1 y1 x + C2 y2 x y + P(x) y + Q(x) y = 0 (1) 常数, 通解 为了求 只要求它的两个线性无关的特解. sin , y2 = x ( ) ( ) 2 1 y x y x 线性无关的特解, 常数, 那末 也是(1)的 齐次线性方程的通解, 若在I上有 通解