《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 微分方程 7-3 第三节 齐次方程

第三节齐次方程1齐次方程可化为齐次型的方程■小结思考题

第三节 齐次方程 n 齐次方程 n 可化为齐次型的方程 n 小结 思考题

齐次方程dy的形式,如果一阶微分方程可以写成0-dxX则称之为齐次方程dydu作变量代换u=，即 =ux,=u+xdxdx一代入du+u= g(u)jx即得到u满足的方程dx

如果一阶微分方程可以写成        x y g x y d d 齐次方程.即 y  ux, 得到 u 满足的方程 ( ). d d u g u x u 即 x   的形式, , x y 作变量代换u    x y d d 代入 则称之为 u x x u d d  一 、 齐次方程

du g(u)-u可分离变量的方程dxxdudx分离变量两边积分，g(u)-ux求出通解后，用代替u.x就得到原方程的通解

可分离变量的方程 , ( ) d d x g u u x u   x x g u u u d ( ) d   分离变量 两边积分, 求出通解后, u. x y 用 代替 就得到原方程的通解

dyygdx例1 解方程xydx-(x2-y2)dy =0xydyxyx齐次方程解 将方程写为2dxxVxdydu令u=，则y=iuxXdxXdxduuU方程变为u＋x即du=dxdx1xU积分得口力离变量方程1+C=12uuX

例1 解方程 解 将方程写为 2 2 d d x y xy x y   齐次方程 , x y 令u  则 y  ux, x u u x x y d d d d   方程变为 2 d 1 d u u x u u x    即 x x u u u d 1 d 1 3 2   积分得 u x C u   ln  ln  2 1 2 2 1         x y x y 可分离变量方程 u u x y u         x y g x y d d ( ) 0 2 2 xydx  x  y dy 

例2探照灯反射镜的设计在xOy平面上有一曲线L,曲线L绕x轴旋转一周形成一旋转曲面.假设由O点发出的光线经此旋转曲面形状的凹镜反射后都与x轴平行（探照灯内的T凹镜就是这样的),求曲线L的方程y解如图，设0点发出的某条MAαS光线经L上一点M(x,y)反射后是一条与x轴平行的直线MSα文设过点M的切线ATA0x由题意与x轴的倾角是α.ZSMT = α

例2 探照灯反射镜的设计. 在xOy平面上有一曲线L,曲线L绕x轴旋转一周, 形成一旋转曲面. 假设由O点发出的光线经此旋转 曲面形状的凹镜反射后都与x轴平行(探照灯内的 凹镜就是这样的),求曲线L的方程. 解 如图, 设 O点发出的某条 M L 光线经L上一点M (x, y)反射 后是一条与x轴平行的直线MS. 又设过点M的切线AT 与x轴的倾角是. 由题意,  SMT   . x y O  T A S 