《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 微分方程 7-习题课

第七章微分方程习题课>教学要求>典型例题

第七章 微分方程 ➢教学要求 ➢典型例题 习 题 课

一、教学要求1．了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。2.掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法3.会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程,并从中领会用变量代换求解方程的思想，会解全微分方程。4.会用降阶法解下列方程：y(n) = f(x), y" = f(x, y')和y" = f(y, y')

一、教学要求 1. 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等 概念. 2. 掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法. 3. 会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程,并从中 领会用变量代换求解方程的思想,会解全微分方 程. 4. 会用降阶法解下列方程: ( ), ( , ) ( , ). ( ) y f x y f x y y f y y n =  =  和  = 

5.理解二阶线性微分方程解的结构6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并了解高阶常系数线性微分方程的解法7.会求自由项形如：Pm(x)eax、ex[P, cos ax + P, sin ax]的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解8.会用微分方程解一些简单的几何和物理问题

5. 理解二阶线性微分方程解的结构. 6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并了 解高阶常系数线性微分方程的解法. 7. 会求自由项形如: 的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解. 8. 会用微分方程解一些简单的几何和物理问题. P x e e P x P x l n x x m     ( ) 、 cos + sin

典型例题二、1例1求通解(x cos 兰 + ysin 当)dx = x(ysin ≥- xcos )dy.1xxxX解原方程可化为2VCOSS1dyxxx齐次方程dxyVxsinCOSxxxquux，y=u+xu.代入原方程得cosu+usinu分离变量u+ xu'=u5usinu-cosu

二、典型例题 ( cos sin )d ( sin cos )dy. x y x x y x x y x y y x y y x + = − 例1 解 原方程可化为 ), sin cos cos sin ( d d x y x y x y x y x y x y x y x y − + = , x y 令u = y = ux, y = u + xu . 求通解 齐次方程 , sin cos cos sin u u u u u u u xu u − + +  =  分离变量 代入原方程得

cosu+usinu分离变量u+ xu'=uusinu-cosudxusinu-cosu两边积分du =2ucosuxIn(ucosu) = Inx-2 +InC.c.ucosu:,CyV所求通解为 xycos=C.cOSxxx

, sin cos cos sin u u u u u u u xu u − + +  =  , d d 2 cos sin cos x x u u u u u u = − 分离变量 两边积分 ln( cos ) ln ln , 2 u u = x + C − cos , 2 x C u u = cos , 2 x C x y x y  = 所求通解为 cos C. x y xy =