第288页(11).[ cos 3x cos 2 xdx解利用积化和差公式cos3x cos 2xdx cos5x+cosxdx2sinx +Csin5x +福210
第 288 页 cos5 cos d 2 x x x 1 1 sin 5 sin 10 2 x x C 解 利用积化和差公式 (11). cos3 cos 2 d x x x cos3 cos 2 d x x x
第289页(12). I tan' x · sec3 xdxcossinxXdcosx法1原式=cos xcos° x121-+C7cos' x 5cos' x 3cos* xI(tan* x · sec? x)(tan x · sec x)dx法2原式=J(sec2 x-1)? sec2 x d sec x ((sec° x-2sec* x+sec? x)dsec x211 x+=sec3 x+C-secsecx-537
第 289 页 4 2 tan sec x x tan sec d x x x 2 22 (sec 1) s x x ec d sec x 6 42 (sec 2sec sec )dsec x x xx 121 753 sec sec sec 753 x x xC 5 8 sin d cos x x x 2 2 8 (1 cos ) d cos cos x x x 753 121 7cos 5cos 3cos C xxx 5 3 (12). tan sec d x xx 法1 原式 = 法2 原式 =
第290页2.第二类换元积分法设x=(t)是单调的可导函数,且 x=(t)定理4.1.3的反函数为t=y(x),y(t)≠O,f[y(t)ly(t)具有原函数则有第二类换元积分公式J f(x)dx=[[ f[v(t)ly'(t)dt[t =y(x)若被积函数中含有a2-x2或x2±α2,可作如下变换Va2-x2 : x=asintVa? +x? : x=atant通过三角变换消去根式Vx? -a2: x=asect
第 290 页 2.第二类换元积分法 定理4.1.3 设 是单调的可导函数,且 则有第二类换元积分公式 t x t ft t ( ), ( ) 0, [ ( )] ( ) ( )d [ ( )] ( )d ( ) fx x f t t t t x 若被积函数中含有 或 ax xa 22 22 ,可作如下变换 2 2 2 2 2 2 : sin : tan : sec a x xa t a x xa t x a xa t 的反函数为 具有原函数 x t ( ) x t ( ) 通过三角变换消去根式
第291页设a>0,求例4.1.4dxdx(1),J Va2-x dx (2),J(3).+10解(1) 令x= asint,则dx= acost dt ,(一号≤t≤号)Ja-x'dx=a'cos'idt=ajl+cos21dt2α?ax-xyα?-x? +Csin2t +C一arcsin-2242a.sin 2t = 2sint cost = 2t = arcsina
第 291 页 例4.1.4 设 a > 0, 求 2 2 22 22 d d (1). d (2). (3). x x a xx ax xa 22 2 2 a x x a tt d cos d 2 1 cos 2 d 2 t a t 2 2 sin 2 2 4 a a t tC 2 2 2 arcsin ,sin 2 2sin cos 2 x x t t t t ax a a 2 1 2 2 arcsin 2 2 a x x axC a 2 2 , t 解(1) 令x = asin t, 则 dx = acos t d t
第292页解(2) 令x = atant, 则dx = asec2t dt ,(-号≤t≤号dxI sectdt= In sect+tant+C+x+x+C,ln0x+Vx?+a+C, (C=C -lna)
第 292 页 1 ln sec tan t tC 2 2 1 ln axx C a 2 2 1 ln x xa C, ( ln CC a ) , 2 2 t 2 2 d sec d x t t a x 解(2) 令x = atan t, 则 dx = asec 2t d t