第268页第4章一元函数积分学及其应用$4.1本章结构不定积分$4.2定积分$4.3定积分应用本章教学目的和要求理解原函数与不定积分概念及关系，了解原函数存在定理.熟练掌握不定积分和定积分基本公式、两类换元法和分部积分法.会求简单有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分.理解定积分的概念与几何意义，了解可积条件.掌握牛顿一菜布尼茨公式.掌握变上下限定积分求导数方法.理解两类反常积分的概念并掌握其计算方法.掌握定积分几何应用和物理应用，了解定积分近似计算法
第 268 页 本章结构 §4.1 不定积分 §4.2 定积分 §4.3 定积分应用 第 4章 一元函数积分学及其应用 理解原函数与不定积分概念及关系,了解原函数存在 定理.熟练掌握不定积分和定积分基本公式 、两类换元法 和分部积分法.会求简单有理函数 、三角函数有理式及简 单无理函数的积分.理解定积分的概念与几何意义,了解可 积条件.掌握牛顿 —莱布尼茨公式.掌握变上下限定积分求 导数方法.理解两类反常积分的概念并掌握其计算方法.掌 握定积分几何应用和物理应用,了解定积分近似计算法. 本章教学目的和要求
第269页84.1不定积分一、不定积分的概念与性质1.原函数的定义定义4.1.1设函数f(x)在区间I上有定义,若存在 1内的可导函数F(x),对任一xEI都有F'(x)= f(x)或 dF(x)= f(x)dx则称F(x)为f(x)在区间 I 上的一个原函数例如：sinx是cosx的一个原函数；1In(x+ /1+x?是的一个原函数V1+x?
第 269 页 §4.1 不定积分 一 、不定积分的概念与性质 1.原函数的定义 定义4.1.1 设函数f (x )在区间 I上有定义,若存在 I 内的可导函数F(x),对任一 x ∈ I 都有 F( ) ( ) d ( ) ( )d x fx Fx fx x 则称 F(x ) 为f (x )在区间 I 上的一个原函数. 例如: sinx 是cosx的一个原函数; 2 2 1 ln 1 1 x x x 是 的一个原函数 或
第270页定理4.1.1（原函数存在定理）若f(x）在区间I上连续，则f(x）在I上必有原函数即存在区间I上的可导函数F(x),使得对任一xEI有F'(x)= f(x)注1 若f (x)有一个原函数F(x),则F(x)+C为f (x)的任意一个原函数,其中C为任意常数注2 若F(x)与G(x)都为f(x)在区间I 上的原函数,则F(x)-G(x) = C(常数)注3原函数不仅连续，而且可导
第 270 页 定理4.1.1(原函数存在定理 ) 若f (x )在区间 I 上连续,则f (x) 在 I 上必有原函数, 即存在区间 I 上的可导函数F(x),使得对任一x ∈ I 有 F x () () f x 注 1 若f (x )有一个原函数 F(x), 则 F(x ) + C 为f (x )的任意 一个原函数,其中 C 为任意常数. 注 2 若 F(x ) 与 G (x )都为f (x )在区间 I 上的原函数,则 F(x)- G (x) = C (常数 ) 注3 原函数不仅连续,而且可导
第271页2.不定积分的定义定义4.1.2 f(x)在区间 I上的所有原函数称为f(x)[f(x)dx在I上的不定积分，记为称『为积分号,(x)为被积函数,x为积分变量,f(x)dx为被积表达式原函数与不定积分的关系：不定积分是原函数的集合原函数是该集合中的一个元素.注1:若F(x) 为f(x) 的一个原函数,则(f(x)dx= F(x)+Cd[f(x)dx=f(x); (dx= x+C注2:dx[F'(x)dx= [dF(x)= F(x)+C;
第 271 页 2.不定积分的定义 定义4.1.2 f (x )在区间 I上的所有原函数称为f (x ) 在 I上的不定积分,记为 f ( )d x x 注 1:若 F(x) 为f (x) 的一个原函数,则 f ( )d ( ) x x Fx C 原函数与不定积分的关系:不定积分是原函数的集合, 原函数是该集合中的一个元素. 称 ∫ 为积分号, f (x) 为被积函数, x 为积分变量, f (x)d x 为被积表达式. 注2 : d ( )d ( ); d d ( )d d ( ) ( ) ; f x x fx x x C x F x x Fx Fx C
第272页3.不定积分的基本性质设f(x)和g(x)的不定积分均存在,则1),[f(x)±g(x)]dx =[ f(x)dx± [ g(x)dx2),[C f(x)dx =CJ f(x)dx,(C ± 0常量)合并可推广n个函数得线性性质(C1...,C,不全为0)Z[c, f.(x)dx[E[C,· f(x)]dx = i=l
第 272 页 3.不定积分的基本性质 1). ( ) ( ) d ( )d ( )d f x gx x f x x gx x 2). ( )d ( )d , 0 Cf x x C f x x C 合并可推广 n个函数得线性性质 ( C1,., Cn不全为0 ) 1 1 ( ) d ( )d n n ii i i i i C fx x C fxx 常量 设f(x ) 和 g (x )的不定积分均存在,则