第173页第3章微分中值定理与导数的应用本章结构$3.1微分中值定理$3.2洛必达法则$3.3泰勒中值定理$3.4函数的单调性、极值和最值$3.5函数的凹凸性和函数作图$3.6弧微分和曲率
第 173 页 本章结构 §3.1 微分中值定理 §3.2 洛必达法则 §3.3 泰勒中值定理 §3.4 函数的单调性、极值和最值 §3.5 函数的凹凸性和函数作图 §3.6 弧微分和曲率 第 3章 微分中值定理与导数的应用
第174页本章教学目的和要求了解罗尔中值定理、理解拉格朗日中值定理及它们的几何意义，理解泰勒定理.会用罗尔中值定理证明方程根的存在性；会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式和等式了解柯西中值定理，熟练掌握洛必达法则.掌握利用导数判定函数单调性及求函数单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式，理解函数极值的概念，掌握求函数的极值（必要性和充分条件)和最值的方法，并且会解简单的应用问题会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点，会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线和斜渐近线，会描绘简单函数的图形，了解曲率和曲率半径概念，会计算曲率和曲率半径
第 174 页 了解罗尔中值定理 、理解拉格朗日中值定理及它们的 几何意义,理解泰勒定理.会用罗尔中值定理证明方程根的 存在性;会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式和等式. 了解柯西中值定理,熟练掌握洛必达法则. 掌握利用导数判定函数单调性及求函数单调增 、减区 间的方法,会利用函数的增减性证明简单的不等式. 理解函数极值的概念,掌握求函数的极值 (必要性和充 分条件 )和最值的方法,并且会解简单的应用问题. 会判定曲线的凹凸性,会求曲线的拐点. 会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线和斜渐近线. 会描绘简单函数的图形. 了解曲率和曲率半径概念,会计算曲率和曲率半径． 本章教学目的和要求
第175页83.1微分中值定理一、费马(Pierre de Fermat)定理设f(x)在xo的某邻域U(xo)内有定义且在xo处可导,若对任意xEU(xo)有f(x)≤f(xo或 f(x)≥f(xo), 则 f'(xo)=O证明不妨设x EU(xo) 时 f(x)≤f(xo)则对xo+ △xEU(xo)有 y =f(x+△x) -f(x)≤0Ay≤0; f(x0)= lim=→ fi(x)= lim >0Ax→0+△AxAr→0-△xf(x)= fi(x) = f'(x)= 0U
第 175 页 §3.1 微分中值定理 一 、费马 (Pierre de Fermat )定理 设f (x ) 在 x0 的某邻域 U(x 0 )内有定义且 在 x 0处可导,若对任意 x ∈ U(x 0 ) 有f (x ) ≤f (x 0 ) 或 f (x ) ≥f (x 0), 则 0 f x ()0 证明 不妨设x ∈ U(x 0) 时 f (x ) ≤f (x 0 ) 则对x 0 + Δ x ∈ U(x 0 ) 有 Δ y =f (x 0 + Δ x) - f (x 0 ) ≤ 0 0 0 0 0 ( ) lim 0 ; ( ) lim 0 x x y y fx fx x x 000 fx fx fx () () ()0
第176页二、 罗尔(Roll)定理若函数f(x)满足以下罗尔条件：(1)在闭区间[a,b]上连续；几何意义(2)在开区间(a,b)内可微(3)在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b)则至少存在一点 E(a,b),使得 f'()=0证明由f(x) E C[a,b]知f(x)在[a,b]上可取得其最大值M和最小值m.(1)若M=m,则 f(x)在[a,b]上为常数,故 f(x)= 0:. V=e(a,b) = f'()=0
第 176 页 二、罗尔 (Roll )定理 若函数 f (x) 满足以下罗尔条件: (1)在闭区间 [ a,b ]上连续 ； (2)在开区间 ( a,b )内可微 ； (3)在区间端点处的函数值相等,即f ( a)=f ( b ) 则至少存在一点 ξ ∈ ( a,b),使得 f ( ) 0 证明 由f (x) ∈ C [ a,b ] 知f (x) 在 [ a,b ]上可取得其最 大值 M 和最小值 m . (1) 若 M= m,则 f (x) 在 [ a,b ]上为常数,故 f ( x ) 0 ( ,) () 0 ab f 几何意义
第177页(2)若M>m,则最大值M与最小值m至少有一个不等于f(x)在区间端点处的函数值不妨设M>f(a)=f(b),因此至少存在一点E (a,b),使得f()=M.:. V xE(a,b), f(x)≤ f()由费马定理得f'()=0注：罗尔条件是结论成立的充分条件，不是必要条件例如 f(x)=x2 -2x-3C[-1,2]f'(1)= 0但 f(-1)=0± f(2)=3
第 177 页 (2) 若M > m,则最大值M与最小值 m至少有一个 不等于f (x ) 在区间端点处的函数值 x ( , ), ( ) ( ) ab fx f 不妨设M > f ( a)=f ( b),因此至少存在一点 ξ ∈ ( a,b),使得 f ( ξ) = M f () 0 注:罗尔条件是结论成立的充分条件,不是必要条件 2 fx x x C ( ) 2 3 [ 1,2] f (1) 0 由费马定理得 例如 但 f f ( 1) 0 (2) 3