第七章线性变换7.1线性映射7.2线性变换的运算7. 3线性变换和矩阵7. 4不变子空间7. 5特征值和特征向量7.6可以对角化矩阵课外学习8：一类特殊矩阵的特征值
7.1 线性映射 7.2 线性变换的运算 7.3 线性变换和矩阵 7.4 不变子空间 7.5 特征值和特征向量 7.6 可以对角化矩阵 课外学习8：一类特殊矩阵的特征值
当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取对方的新鲜活力，并迅速地趋于完美。---拉格朗日（Lagrange1736-1813）数与形，本是相倚依，爲能分作两边飞。数缺形时少知觉，形少数时难入微。--华罗庚（1910－1985理学院数学系
理学院数学系 当代数和几何结合成伴侣时，他们 就相互吸取对方的新鲜活力，并迅速地 趋于完美。 -拉格朗日（Lagrange,1736-1813） 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。 数缺形时少知觉，形少数时难入微。 -华罗庚（1910－1985）
线性映射7.1一、内容分布7.1.1线性映射的定义、实例7.1.2线性映射的像与核教学目的：二、1．准确理解线性映射的定义，能够判断给定的法则是否是一个线性映射2.正确理解线性映射的像与核的概念及相互间的联系，并能求出给定线性映射的像与核，三、重点、难点：判断给定的法则是否是一个线性映射；求出给定线性映射的像与核理学院数学系
理学院数学系 7.1 线性映射 一、内容分布 7.1.1 线性映射的定义、实例. 7.1.2 线性映射的像与核. 二、 教学目的: 1．准确理解线性映射的定义，能够判断给定的法 则是否是一个线性映射． 2．正确理解线性映射的像与核的概念及相互间的 联系，并能求出给定线性映射的像与核． 三、 重点、难点: 判断给定的法则是否是一个线性 映射；求出给定线性映射的像与核．
线性映射的定义、例7.1.1设F是一个数域，V和W是F上向量空间定义1设g是V到W的一个映射.如果下列条件被满足，就称o是V到W的一个线性映射①对于任意 ≤,nE V,(+n)=o()+o(n)②对于任意 aEF,V,(a)=ao()容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件：a,beF③对于任意和任意E,nevo(aE+bn)=ao()+bo(n)理学院数学系
理学院数学系 7.1.1 线性映射的定义、例 设F是一个数域，V和W是F上向量空间. 定义1 设σ是V 到W 的一个映射. 如果下列条 件被满足，就称σ是V 到W 的一个线性映射： ①对于任意 ②对于任意 容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件： ③对于任意 和任意 , V , ( ) ( ) (). a F, V , (a ) a ( ) a,b F , V , (a b) a ( ) b ()
在②中取α=0，对③进行数学归纳，可以得到：α(0)= 0(1)(2)o(aSi +... +anEn) = ajo(5)+...+ano(En例1的每一向量==(x1,x2）定义对于 R2o(E)= (xi,Xj - X2,X + x2)e R3R到g是R的一个映射，我们证明，是一个线性映射例2令H是V，中经过原点的一个平面.对于V，的每一向量S，令表示向量在平面H上的正射影根据射影的性质，:→α()是V,到V的一个线性映射理学院数学系
理学院数学系 在②中取 ，对③进行数学归纳，可以得到： （1） （2） a 0 (0) 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 n n 1 1 n n a a a a 例1 对于 的每一向量 定义 σ是 到 的一个映射，我们证明，σ是一个线 性映射. 2 R 1 2 x , x 3 1 1 2 1 2 x , x x , x x R 3 R 2 R 例2 令H是 中经过原点的一个平面.对于 的每 一向量ξ，令 表示向量ξ在平面H上的正射影. 根据射影的性质， 是 到 的一个线 性映射. V3 V3 : V3 V3