第八章欧氏空间8.1向量的内积正交基8. 28. 3正交变换8.4对称变换和对称矩阵课外学习9：
8.1 向量的内积 8.2 正交基 8.3 正交变换 8.4 对称变换和对称矩阵 课外学习9：
8.1向量的内积一、内容分布8.1.1向量的内积，欧氏空间的定义8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质二、教学目的：1：准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的长度、单位向量、两零向量的夹角、两向量正交，两向量的距离2.掌握常见的几种欧氏空间：会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量与m的内和于这个内积构成欧氏空间，<5,n>?<<5,5><n,n>3.掌握及其它不等式，并会用它来证明另一些不等式三、重点难点：1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念，2.不等式,>5,5>>的灵活运用理学院数学系
, , , 2 及其它不等式，并会用它来证明另 三、重点难点： 1. 准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念; 2. 不等式 , , , 2 的灵活运用. 一些不等式 理学院数学系
8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义定义1设V是实数域R上一个向量空间，如果对于V中任意一对向量,n有一个确定的记作<E,n>的实数与它们对应，并且下列条件被满足：1)<≤,n >=<,≤>2)<≤+n,>=<≤,S>+<n,>3)<a=,n>=a<=,n>4)当≠0时,<5,≤>>0这里,n，是V的任意向量，a是任意实数，那么<,n>叫做向量s与n的内积，而V叫做对于这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）理学院数学系
1) , , 2) , , , 3) a , a , 4) 当 0时, , 》0 定义1 设V是实数域R上一个向量空间. 如果对于 V中任意一对向量 有一个确定的记作 , 的实数与它们对应，并且下列条件被满足： , 这里,, 是V的任意向量，a是任意实数， , 那么 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）. 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 理学院数学系
例1 在Rn里，对于任意两个向量=(xi,x2..xn), n=(y, y2.... yn)规定<E,n >= Xiy1 + X2y2 +... +XnYn容易验证，关于内积的公理被满足，因而P对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间例2 在里，对于任意向量RnE =(xi,X2..., Xn), n = (i, Y2.... yn)规定<E,n>= xiy1 +2x2y2 +...+nxnyn不难验证，R"也作成一个欧氏空间理学院数学系
n R ( , ,., ), 1 2 n x x x ( , ,., ) 1 2 n y y y n n , x y x y . x y 1 1 2 2 例 1 在 规定 里,对于任意两个向量 容易验证,关于内积的公理被满足,因而 n R 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间. n R ( , ,., ), 1 2 n x x x ( , ,., ) 1 2 n y y y n n , x y 2x y . nx y 1 1 2 2 例 2 在 规定 里,对于任意向量 不难验证, 也作成一个欧氏空间. n R 理学院数学系
例3令C[a,b|是定义在[a,b]上一切连续实函数所成的向量空间，f(x),g(x)eC[a,b]我们规定< f,g >= 「° f(x)g(x)dx根据定积分的基本性质可知，内积的公理1)---4)都被满足，因而C[a,b|作成一个欧氏空间例4令H是一切平方和收敛的实数列8+8=(Xi,X2,.n=所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标量与向量的乘法理学院数学系
例3 令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数 f (x), g(x) C[a,b] 我们规定 所成的向量空间, f , g f ( x )g ( x ) dx . b a 根据定积分的基本性质可知,内积的公理 1)-4)都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏空间. 例4 令H是一切平方和收敛的实数列 ( , , , , ), x1 x2 xn 1 2 n n x 所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标 量与向量的乘法: 理学院数学系