《高等代数》课程教学资源（例题选讲）第五章 矩阵

第五章基本训练题（目的2个：熟悉矩阵的各种运算方式方法；训练矩阵运算能力）31212/2.1. 设A=2R12304（1）计算3A-B，2A+3B；(2）若X满足A+X-B，求X;（3）若Y满足（2A-Y）+2（B-Y）求 Y.=0,36634321363-2681-2128解：（1）3A-B[31200339-1-1713963[221291413844V3-2424-632A+3B-265-2512468025-36301即(2) 因 A+X=B,则X=B-A，S242+2221I1X0302-1（3）因为所以3Y-2A+2B，即(2A-Y) +2(B-Y)=0,4322S5332Y=2=2(A+B)-2C7-223330033+101022334140013132-32-322

第五章基本训练题 （目的 2 个：熟悉矩阵的各种运算方式方法；训练矩阵运算能力） 1. 设 A= 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 3 4           ，B= 4 3 2 1 2 1 2 1 0 1 0 1     − −       − − ， （1）计算 3A-B，2A+3B； （2）若 X 满足 A+X=B，求 X； （3）若 Y 满足（2A-Y）+2（B-Y）=0，求 Y. 解：（1）3A-B= 3 6 3 6 6 3 6 3 3 3 9 12           - 4 3 2 1 2 1 2 1 0 1 0 1     − −       − − = 1 3 1 5 8 2 8 2 3 7 9 13   −         。 2A+3B= 2424 4242 2 4 6 8           + 12 9 6 3 6 3 6 3 0 3 0 3     − −       − − = 14 13 8 7 2 5 2 5 2 1 6 5     − −       。 （2）因 A+X=B，则 X=B-A，即 X= 4 3 2 1 2 1 2 1 0 1 0 1     − −       − − - 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 3 4           = 3 1 1 1 4 0 4 0 1 3 3 5   −   − −       − − − − 。 （3）因为（2A-Y）+2（B-Y）=0，所以 3Y=2A+2B，即 Y= 2 3 （A+B）= 2 3 （ 4 3 2 1 2 1 2 1 0 1 0 1     − −       − − + 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 3 4           ）= 5 5 3 3 2 0 2 0 2 3 1 1 3 3            = 10 10 2 2 3 3 4 4 0 0 3 3 2 2 2 2 3 3      

2.计算下列矩阵的乘积5003.2o];(2)(1) =3-10211.333[aar3ar2X2(x)a23X,x)a21a22X2(3)[123.41(4)-La31a3 JLxa32030112010 07[an1ai2ai30200111-101a23(5)a21(6)a2230200-20-00a331[a31a3203lo00-300【解】32-1 05-20-31(1)(2)3(3)(10);64-20-1[96-30(4)33aux +a2x +a3x +(a2 +a1)xx +(a3 +aa)xx +(a +a)xx, =TEaxx[5272aia12i2+ai302Y1a22a22 +a23a21(6)(5)030-4 a31a32a32+a3390003.举例说明下列命题是错误的(1)若A2=O，则A=O；（2)若A?=A，则A=O或A=E;(3)若AX=AY，A+O，则X=Y【解】

2. 计算下列矩阵的乘积 （1）   1 1 3 2 1 0 2 3     −   −       = ； （2） 5 0 0 1 0 3 1 2 0 2 1 3         −             ； （3）   3 2 1 2 3 4 1 0             ； （4） ( ) 11 12 13 1 1 2 3 21 22 23 2 31 32 33 3 a a a x x x x a a a x a a a x                     ； （5） 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 0 0 0 1 1 0 0 1 a a a a a a a a a                     ；（ 6） 1 2 1 0 1 0 3 1 0 1 0 1 0 1 2 1 0 0 2 1 0 0 2 3 0 0 0 3 0 0 0 3         −         −         − . 【解】 (1) 3 2 1 0 3 2 1 0 ; 6 4 2 0 9 6 3 0   −   − −     −     − (2) 5 3 1     −       − ; (3) (10); (4) 3 3 2 2 2 11 1 22 2 33 3 12 21 1 2 13 31 1 3 23 32 2 3 1 1 ( ) ( ) ( ) ij i j i j a x a x a x a a x x a a x x a a x x a x x = = + + + + + + + + =  (5) 11 12 12 13 21 22 22 23 31 32 32 33 a a a a a a a a a a a a   +   +       + ; (6) 1 2 5 2 0 1 2 4 0 0 4 3 0 0 0 9     −     −     − . 3. 举例说明下列命题是错误的. (1) 若 2 A O= ， 则 A O= ； (2) 若 2 A A = ， 则 A O= 或 A E= ； (3) 若 AX = AY ， A O ， 则 X = Y . 【解】

0(1)以三阶矩阵为例，取 A:=0.但A±000[1 -1 0](2) 令 A=000则A?=A,但A≠0且A≠E10010110(3) 令 A=+0,Y01-10则 AX=AY,但 X+Y.4.已知线性变换xi =2yi +y2,[yi=-3z, +z2,X2 =-2yi +3y2+2y3, y2 =2zi +z3,x,=4yi+y2+5y3;(y3=-z2 +3z3利用矩阵乘法求从z1,Z2,z3到Xi,x2,X3的线性变换【解】已知120X232X==AY,xV41X3y3-311yiY :20= Bz,y20-1[y'3-4212X = AY =ABz-4-1016 从而由Z1,Z2,z3到x,X2,x3的线性变换为

(1) 以三阶矩阵为例，取 2 0 0 1 000 , 000     = =       A A 0 ,但 A≠0 (2) 令 1 1 0 000 0 0 1   −   =       A , 则 A2=A,但 A≠0 且 A≠E (3) 令 1 1 0 2 1 0 1 1 1 2 , = , 1 0 1 1 0             =  =                   − A Y X 0 则 AX=AY,但 X≠Y. 4. 已知线性变换 1 1 2 1 1 2 2 1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 3 2 3 2 , 3 , 2 3 2 , 2 , 4 5 ; 3 , x y y y z z x y y y y z z x y y y y z z   = + = − +     = − + + = +     = + + = − + 利用矩阵乘法求从 1 2 3 z z z , , 到 1 2 3 x x x , , 的线性变换. 【解】已知 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 1 0 232 , 4 1 5 3 1 0 2 0 1 , 0 1 3 4 2 1 12 4 9 10 1 16 x y x y x y y z y z y z             = = = −                 −       = = =           −   −   = = −       − − X AY Y Bz X AY ABz z, 从而由 1 2 3 z z z , , 到 1 2 3 x x x , , 的线性变换为

[X = -42 +2z2 + 23, X2 =12z/ -4z,+9z3,[x, =-10z) -22 +16z35.设A，B为n阶方阵，且A为对称阵，证明：BAB也是对称阵【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A’=A,所以(B’AB)=B’A’B=B’AB,故B'AB也为对称阵6.设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是 AB-BA.【证明】已知A’=A,B'=B，若AB是对称阵，即(AB)’=AB则AB=(AB)=B' A' =BA,反之，因AB=BA,则(AB)"=B' A' =BA=AB,所以，AB为对称阵7.A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：(1)B2是对称矩阵；(2)AB-BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵【证明】因A'=A,B' =-B,故 (B)’ =B'·B' =-B· (-B)=B2;(AB-BA)' =(AB)'-(BA)' =B' A' -A' B'=-BA-A · (-B)-AB-BA;(AB+BA)"=(AB)'+(BA)'=B'A'+A'B=-BA+A · (-B)=-(AB+BA)所以B2是对称矩阵，AB-BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵

1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 4 2 , 12 4 9 , 10 16 . x z z z x z z z x z z z  = − + +   = − +   = − − + 5. 设 A ，B 为 n 阶方阵，且 A 为对称阵，证明： B AB  也是对称阵. 【证明】因为 n 阶方阵 A 为对称阵，即 A′=A, 所以 (B′AB)′=B′A′B=B′AB, 故 B AB  也为对称阵. 6. 设 A，B 为 n 阶对称方阵，证明：AB 为对称阵的充分必要条件 是 AB=BA. 【证明】已知 A′=A,B′=B，若 AB 是对称阵，即(AB)′=AB. 则 AB=(AB)′=B′A′=BA, 反之，因 AB=BA,则 (AB)′=B′A′=BA=AB, 所以，AB 为对称阵. 7. A 为 n 阶对称矩阵，B 为 n 阶反对称矩阵，证明： (1) B2是对称矩阵；(2) AB−BA 是对称矩阵，AB+BA 是反对称矩阵. 【证明】 因 A′=A, B′= −B, 故 (B2 )′=B′·B′= −B·(−B)=B2 ; (AB−BA)′=(AB)′−(BA)′=B′A′−A′B′ = −BA−A·(−B)=AB−BA; (AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′ = −BA+A·(−B)= −(AB+BA). 所以 B2是对称矩阵，AB−BA 是对称矩阵，AB+BA 是反对称矩阵

8.求下列矩阵的逆矩阵[13212201(2)(1)250010001[12-1200134-2(3)(4)2305-4 -142[11【解】21101-21)(2)Lo010007111100126202411-71(4)(3)06326-321421511L 8424129.证明下列命题：(1）若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=BA*(2）若A可逆，则A"可逆且（A*）-1=（A-1）*(3)若AA'=E,则（A*)’ =(A)-1.【证明】（1）因对任意方阵c，均有 cc=cc*=|cE,而A,B均可逆且同阶，故可得A|·B·BA*=ABE(B*A*)(AB)'AB(B*A)=(AB)'A(BB*)A(AB)'A|B|EA*=A| · [B(AB)

8. 求下列矩阵的逆矩阵. (1) 1 2 2 5       ； (2) 1 2 3 0 1 2 001           ； (3) 1 2 1 3 4 2 5 4 1   −   −       − − ； (4) 1 0 0 0 1 2 0 0 2 1 3 0 1 2 1 4             。 【解】 (1) 5 2 2 1   −     − ; (2) 1 2 1 0 1 2 0 0 1   −   −       ; (3) 12 6 0 1 7 4 1 6 32 14 2   −   − −       − − ; (4) 1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1 1 0 2 6 3 1 5 1 1 8 24 12 4     − − − − −   。 9. 证明下列命题： (1) 若 A，B 是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A* . (2) 若 A 可逆，则 A*可逆且（A*）−1=（A −1）* . (3) 若 AA′=E，则（A*）′=(A* ) −1 . 【证明】（1） 因对任意方阵 c，均有 c *c=cc*=|c|E,而 A,B 均可逆且同 阶，故可得 |A|·|B|·B*A*=|AB|E(B*A* ) =(AB) *AB(B*A* )=(AB) *A(BB* )A* =(AB) *A|B|EA*=|A|·|B|(AB) *