第403页第5章常微分方程$5.1本章结构微分方程的基本概念$5.2几种常见的一阶微分方程$5.3高阶微分方程$5.4欧拉方程和常系数线性微分方程组$5.5微分方程的应用本章教学目的和要求了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念，掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次方程，会用降阶法求下列高阶方程理解二阶线性微分方程解的结构，掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法会求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解会通过建立微分方程模型，解决一些简单的实际问题
第 403 页 本章结构 §5.1 微分方程的基本概念 §5.2 几种常见的一阶微分方程 §5.3 高阶微分方程 §5.4 欧拉方程和常系数线性微分方程组 §5.5 微分方程的应用 第 5章 常微分方程 本章教学目的和要求 了解微分方程 、 解 、通解 、初始条件和特解等概念. 掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法,会解 齐次方程,会用降阶法求下列高阶方程. 理解二阶线性微分方程解的结构,掌握二阶常系数齐次线 性微分方程的解法,了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法. 会求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解. 会通过建立微分方程模型,解决一些简单的实际问题
第404页85.1微分方程的基本概念例5.1.1一曲线过点（1,2),且在该曲线上任一点(xJ)处的切线的斜率为2x,求曲线的方程解 设曲线方程为y=y(x),则 y'=2x==「2xdx=x2+C其中C为任意常数.由 (1) = 2 得 C = 1所求曲线为V=x2+1
第 404 页 例5.1.1 一曲线过点(1,2),且在该曲线上任一点 (x,y) 处的切线的斜率为 2 x,求曲线的方程. §5.1 微分方程的基本概念 解 设曲线方程为y = y (x), 则 y 2 x 2 y xx x C 2 d 其中 C为任意常数. 由 y(1) = 2 得 C = 1 所求曲线为 y = x 2 + 1
第405页例5.1.2列车运行时速为20mls，制动时加速度为-0.4mls2问从开始制动到停车，火车能运行多远？解设火车运行规律为s=s(t),则制动时运行规律满足d’s得 C, = 20-0.4dt?ds= -0.4t + 20.vdts(0) = 0解得 s(t) = -0.2 t? + 20 t + C,ds:20v(0)=0dt由 s(0)=0 得 C2= 0ds= s(t) = -0.2t2 +20t解得√-0.4t +Cdt由v=-0.4t+20=0 得t=50ds= 20由v(0)dt l=0s(50) = 500(m)U
第 405 页 例5.1.2 列车运行时速为 20 m /s , 制动时加速度为 -0.4 m /s 2,问从开始制动到停车,火车能运行多远 ？ 解 设火车运行规律为 s = s ( t),则制动时运行规律满足 2 2 0 d 0.4 d (0) 0 d (0) 20 d t s t s s v t 解得 1 d 0.4 d s v tC t 0 d (0) 20 d t s v t d 0.4 20 d s v t t 2 2 s( ) 0.2 20 t t tC 2 st t t ( ) 0.2 20 s m (50) 500( ) 由 得 C1 = 20 解得 由 s(0)=0 得 C2 = 0 由 v =-0.4 t +20 =0 得 t =50
第406页含有未知函数及其导数的方程称为微分方程；未知函数为一[多1元函数的微分方程称为常偏]微分方程；微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数.n阶微分方程一般形式为：F(x, y, y',", y(n)) = O...(1)或y(n) = f(x,y, y",..., y(n-).....(2)使微分方程恒成立的函数称为微分方程的解：若解中含有独立的任意常数，且任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此解为微分方程的通解；不含任意常数的解称为特解：用于确定通解中任意常数的条件称为定解条件（也称初值条件或初始条件）.由微分方程和定解条件构成的问题称为初值问题
第 406 页 含有未知函数及其导数的方程称为微分方程;未知 函数为一 [ 多 ]元函数的微分方程称为 常 [ 偏 ]微分方程; 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为 微分方程的阶数. n 阶微分方程一般形式为: ( ) ( , , , , ) 0 (1) n Fxyy y 或 ( ) ( 1) ( , , , , ) (2) n n y fxyy y 使微分方程恒成立的函数称为微分方程的 解;若 解中含有独立的任意常数,且任意常数的个数等于微分 方程的阶数,则称此解为微分方程的通解;不含任意常 数的解称为特解;用于确定通解中任意常数的条件称 为定解条件 (也称初值条件 或初始条件).由微分方程和 定解条件构成的问题称为初值问题
第407页验证函数 =C,e-x+C2 是否为微分方程例5.1.3"-2y-3y=0的通解解二阶微分方程的通解v应满足两个条件①y是方程的解；②y包含两个独立的任意常量y=C,e-*+C2 →y'=-C,e-x+C2, J"=C,e-x+C2代入微分方程得 C,e-*+C2 + 2C,e-x+C2-3C, e-x+C2 = 0故 =C,e-+是微分方程 J"-2y'-3y=0 的解但若记 C=Ce,则 y=C,e-x+2 =Ce-x即两个任意常量不独立，故它不是通解
第 407 页 但若记 , 则 代入微分方程得 故 是微分方程 的解 例5.1.3 验证函数 是否为微分方程 y yy 230 2 22 1 11 e e, e xC xC xC yC y C y C 2 22 1 11 e 2e 3e 0 xC xC xC CCC 2 1 e 230 x C yC y y y 2 2 1 1 e ee C xC x CC yC C 即两个任意常量不独立,故它不是通解. 的通解 ① y是方程的解; ② y包含两个独立的任意常量 . 2 1 e x C y C 解 二阶微分方程的通解y应满足两个条件: