《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第4章 一元函数积分学及其应用

第278页sinx ,x>0求「(x)dx7. f(x) =3,x≤0xsin xdx=-cosx+C ,x>0.解( f(x)dx :43 [/xdx==x3 +Ci ,x≤04由x=0连续得 -cos0+C=-1+C=C-cosx+C ,x>0[ f(x)dx=} 3 -x3 +C-1, x≤04

第 278 页 解 3 sin , 0 7. ( ) , ( )d , 0 x x f x fx x x x        3 4 3 1 sin d cos , 0 ( )d 3 d ,0 4 xx x C x fx x xx x C x               由 x = 0连续得 1 cos 0 1     C CC 4 3 cos , 0 ( )d 3 1, 0 4 xC x fx x xC x               求

第279页二、换元积分法利用中间变量的代换，求复合函数的积分1.第一类换元积分法定理4.1.2 设F(u)为f(u)的原函数,u = の(x)可微则有第一类换元积分公式( f(u)du( f[p(x)]p'(x)dx =u=p(x)= F(u)+C = F[β(x)]+C

第 279 页 定理4.1.2 设 F( u ) 为f ( u )的原函数, u   ( x )可微, 则有第一类换元积分公式 ( ) [ ( )] ( )d ( )d ( ) [ ( )] u x f x x x fu u Fu C F x C                 1.第一类换元积分法 二、换元积分法 利用中间变量的代换,求复合函数的积分

第280页计算不定积分例4.1.311(1).dx :3+2x)3+2x23+2xu-ln/3+2x/+C2usin x2).tan xdxcosxcos xcos x=-ln|cosx|+CI cot x dx = In|sin x|+ C类似可得

第 280 页 例4.1.3 计算不定积分 1 1 d(3 2 ) 232 x x     1 ln | 3 2 | 2    x C (2). tan dx x  sin d cos x x x   1 d cos cos x x       ln | cos | x C cot d ln sin xx x C   类似可得  u u 1 (1). d 3 2 x  x 

第281页1arctan=+CaQxaa1+adxaX+CX-In|x-a-In|x +a)+CL(arctanh2aax+a其中反双曲正切 arctanh(2+X

第 281 页 111 d 2 x a xa xa              1 ln ln 2 xa xa C a     1 ln 2 x a C a xa     1 1 arctanh( ) ln 2 1 x x x    1 arctanh x C a a         2 2 1 (3). dx a x   2 1 1 d 1 x a a x a                1 arctan x C a a   其中反双曲正切 2 2 1 (4). dx x a  

第282页x-2(5).dxx? +2x+3V(2x+2)-3解 原式=dxx2 +2x+32x+ 2dxdxx? +2x+3*2+2x+32 Jx-1 rd(x2 +2x+3)d(x + 1)Cx2+2x+3(x+1)2 +(V2)223x+1= ln(x? + 2x+3)+CarctanV2J22

第 282 页 1 2 2 (2 2) 3 d 2 3 x x x x      2 2 1 22 d d 3 2 23 23 x x x xx xx         2 2 2 2 1 d( 2 3) d( 1) 3 2 23 ( 1) ( 2) xx x x x x           1 31 2 ln( 2 3) arctan 2 2 2 x xx C      2 2 (5). d 2 3 x x x x     解 原式 =