《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第4章 一元函数积分学及其应用

第273页4.基本积分公式--x)[kdx= kx+C,(k为常量)+Carctanaa9+1adxa+x+C,(a±-1)-Ca+12aa-xOe"dx=e'+C+C,1dxa-x一+CdxInIna2aa+xIn|x|+C10)[ sin xdx = -cos x+Cx11) cos xdx = sin x+C5dx = arcsin=+Ca12)[ tan xdx = -Iln |cos x| +C6) [dx=In/x+Vx13)[cot xdx = In| sin x|+C+a力

第 273 页 4.基本积分公式 1 2 2 2 2 2 2 1) d , 2) d ,( 1) 1 3) d , e d e ln 1 4) d ln | | 1 5) d arcsin 1 6) d ln a a x x xx k x kx C x x x Ca a a ax C x C a x xC x x x C a x a x x xa C x a                           2 2 2 2 2 2 1 1 7) d arctan 1 1 8) d ln 2 1 1 9) d ln 2 10) sin d cos 11) cos d sin 12) tan d ln | cos | 13) cot d ln | sin | x x C ax a a a x x C a x a ax a x x C x a a ax xx x C xx x C xx x C xx x C                             ( k为常量 )

第274页14) [ sec xdx = In sec x + tan x|+C15) [ csc xdx = In|csc x -cot x| +C-dx = [ csc2 xdx =-cot x+C16sin' x1dx = [sec’ xdx = tan x+C17cos? x18) [ sec x tan xdx = sec x+C19) [ csc x cot xdx = -csc x+C20) [ sh xdx = ch x +C21) [ch xdx = sh x +C

第 274 页 2 2 2 2 14) sec d ln sec tan 15) csc d ln csc cot 1 16) d csc d cot sin 1 17) d sec d tan cos 18) sec tan d sec 19) csc cot d csc 20) sh d ch 21) ch d sh xx x x C xx x x C x xx x C x x xx x C x x xx x C x xx x C xx x C xx x C                           

第275页2(x-1),x<1例4.1.1（2016考研）已知函数f(x)=lnx,x≥1).则凡x)的一个原函数为((x-1)2,x<1解首先验证(A).F(x) =x(ln x-1), x ≥1F'(x)= f(x)(x-1),x<1只有(A)和(D)满足(B).F(x) =x(ln x+1)-1, x ≥1其次验证F(x)在(x-1),x<1x=1处的连续性(C).F(x) =x(ln x+1)+1, x ≥1只有(D)满足(x-1),x<1(D).F(x) =x(lnx-l)+1, x ≥1

第 275 页 例4.1.1 (2016考研 ) 已知函数 2( 1), 1 ( ) ln , 1 x x f x x x        则f(x )的一个原函数为( ). 2 2 2 2 ( 1) , 1 (A). ( ) (ln 1), 1 ( 1) , 1 (B). ( ) (ln 1) 1, 1 ( 1) , 1 (C). ( ) (ln 1) 1, 1 ( 1) , 1 (D). ( ) (ln 1) 1, 1 x x F x xx x x x F x xx x x x F x xx x x x F x xx x                                    解 首先验证 Fx fx () ()  只有(A) 和(D)满足 其次验证 F(x ) 在 x = 1处的连续性 只有(D)满足

第276页例4.1.2计算不定积分31021.J Vx(x2 -5)dx=[xdx-5J xdx=2r22 +Cr37-1)31Xdxx-3+X.2.2xxx2x3x+31n|x|+1+C2x3.[(e*-3cos x +2*e*)dx[e* dx -3′ cos xdx + [(2e)*dx(2e)*+C=e*-3sinx+In(2 e)

第 276 页 2 3 1 x 3 dx x x           2 1 3 3ln 2 x x x C x     3. (e 3cos 2 e )d x xx  x x  e d 3 cos d (2e) d x x   x xx x    (2e) e 3sin ln(2e) x x   x C   例4.1.2 计算不定积分 2 1. ( 5)d x x x   5 1 2 2   xx xx d5 d   7 3 2 2 2 10 7 3  x xC   3 2 ( 1) 2. d x x x  

第277页Xdxx(1 + x2)(dx = Inx|+ arctan x +C+X5.[ tan2 xdx = [(sec2 x-1)dx=[ sec'xdx-[dx = tanx-x+C-coSx6.J sin?≥dx (J dx -J cos xdxdx222(x-sinx)+C

第 277 页 2 2 (1 ) d (1 ) x x x x x      2 1 1 d d 1 x x x x       ln| | arctan x xC   2 5. tan dx x  2   (sec 1)d x x  2   sec d d x x x    tan x  x C 2 6. sin d 2 x x  1 cos d 2 x x      1 d cos d 2  x x x   1 ( sin ) 2  x   x C 2 2 1 4. d (1 ) x x x x x    