西安毛子科技大学=XIDIAN UNIVERSITYs 9.1定义与基本性质，欧氏空间的定义！欧氏空间中向量的长度三、欧氏空间中向量的夹角四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示五、欧氏子空间
§9.1 定义与基本性质 一、欧氏空间的定义 §9.1 定义与基本性质 二、欧氏空间中向量的长度 三、欧氏空间中向量的夹角 四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示 五、欧氏子空间
西要毛子律技大学XIDIAN UNIVERSITY问题的引入：1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算其具体模型为几何空间R2、R3但几何空间的度量性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质都可以通过内积反映出来长度：α=Vα.αα.β夹角<α,β>：cos<α,β>:αβ3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质
§9.1 定义与基本性质 问题的引入： 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及. 其具体模型为几何空间 R R 2 3 、 , 1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算， 但几何空间的度量 长度： = 都可以通过内积反映出来： , cos , 夹角 = ： 2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质 3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质
西要毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY欧氏空间的定义1.定义设V是实数域R上的线性空间，对V中任意两个向量α、β，定义一个二元实函数，记作(α,β)，若(α,β)满足性质：Vα,β,eV，VkeR(对称性）1° (α,β)=(β,α)(数乘)2° (kα,β) = k(α,β)3° (α+β,)=(α,)+(β,r)（可加性）4°(α,α)≥0,当且仅当α=0时(α,α)=0.（正定性)
§9.1 定义与基本性质 满足性质： , , , V k R 1 ( , ) ( , ) = 2 ( , ) ( , ) k k = 3 ( , ) , ( , ) + = + ( ) 4 ( , ) 0, 当且仅当 = 0时( , ) 0. = 一、欧氏空间的定义 1. 定义 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量 、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ，若 ( , ) （对称性） （数乘） （可加性） （正定性）
西要毛子律技大学XIDIANUNIVERSIT则称(α,β为α和β的内积，并称这种定义了内积的实数域R上的线性空间V为欧氏空间注：欧氏空间V是特殊的线性空间①V为实数域R上的线性空间；②V除向量的线性运算外，还有“内积”运算；③ (α,β)e R
§9.1 定义与基本性质 ① V为实数域 R上的线性空间; ② V除向量的线性运算外，还有“内积”运算; ③ ( , ) . R 欧氏空间 V是特殊的线性空间 则称 ( , ) 为 和 的内积，并称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧氏空间. 注：
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY例1．在R"中，对于向量α=(ar,az,",an), β=(bi,b2,".,bn)(1)1)定义(α,β)=ab +a,b, +.+a,b.易证(α,β)满足定义中的性质1～4°所以，(α,β)为内积.这样R"对于内积(α,β)就成为一个欧氏空间。（当n=3时，1）即为几何空间R中内积在直角坐标系下的表达式．(α,β)即α·β．)
§9.1 定义与基本性质 例1．在 R n 中，对于向量 = = (a a a b b b 1 2 1 2 , , , , , , , n n ) ( ) 当 n = 3 时，1）即为几何空间 中内积在直角 3 ( R 坐标系下的表达式 . ( , ) . 即 ) 这样 对于内积 就成为一个欧氏空间. n R ( , ) 易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 4 ～ . 1）定义 1 1 2 2 ( , ) n n = + + + a b a b a b （1） 所以, ( , ) 为内积