西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITYS 9.2标准正交基正交向量组！标准正交基二、三、正交矩阵
§9.2 标准正交基 一、正交向量组 §9.2 标准正交基 二、标准正交基 三、正交矩阵
西安毛子科技大学=XIDIAN UNIVERSITY一、正交向量组定义：设V为欧氏空间，非零向量α,αz,αmEV如果它们两两正交，则称之为正交向量组注:①若 α0，则α是正交向量组②正交向量组必是线性无关向量组
§9.2 标准正交基 设Ｖ为欧氏空间，非零向量 1 2 , , , , m V ① 若 0, 则 是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组. 一、正交向量组 定义： 如果它们两两正交，则称之为正交向量组. 注：
西要毛子律技大枣XIDIANUNIVERSITY证：设非零向量αj,αz,,αmEV两两正交令 kα +k,α, +...+kmαm=0, k,ER,则 (α,k;α,)=k;(α,α,)=k;(αj,α,)=0j-1j-1由α;±0知(α;,α,)>0,.. k,=0, i=1,2,..",m故αj,α2,,αm线性无关
§9.2 标准正交基 证：设非零向量 两两正交. 1 2 , , , m V 令 1 1 2 2 0, , m m i k k k k R + + + = 则 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 m m i j j j i j i i i j j k k k = = = = = 由 i 0 知 ( , ) 0, i i 0, 1,2, , . i = = k i m 故 1 2 线性无关. , , , m
西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY③欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组例如：R3中 α, =(1,1,0)， αz =(1,0,1) 线性无关,但 αi,αz 不是正交向量组： (α,α2)=1±0.④n维欧氏空间中正交向量组所含向量个数≤n
§9.2 标准正交基 ④ n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数 n. ③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组． 1 2 ( , ) 1 0. = 1 2 例如： 中 = = (1,1,0), (1,0,1) 3 R 线性无关． 但 1 2 不是正交向量组.
西要毛子律技大学XIDIANUNIVERSITY二、标准正交基1.几何空间R3中的情况在直角坐标系下i= (1,0,0), j= (0,1,0), k=(0,0,1)是由单位向量构成的正交向量组，即(i,j) =(j,k) = (k,i) = 0-=1i,j,k 是 R’的一组基
§9.2 标准正交基 1. 几何空间 R 3 中的情况 在直角坐标系下 i j k = = = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 是由单位向量构成的正交向量组，即 二、标准正交基 ( , ) ( , ) ( , ) 0, i j j k k i = = = i j k , , 是 的一组基. 3 R | | | | | | 1 i j k = = =