牛712球面方程 例1建立球心在点M0(x0,y,z0)、半径为 R的球面方程 解设M(x,y,z)是球面上任一点, 根据题意有|MM|=R (x-x0)2+(0-n)2+(z-0)=R[标准方程 王所求方程为(x-x)+(U-)+(-x)=R2 特殊地:球心在原点时方程为x2+y2+z=R2 上页
例 1 建立球心在点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 、半径为 R的球面方程. 解 设M(x, y,z)是球面上任一点， 根据题意有 | MM0 |= R (x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) = R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 所求方程为 x − x0 + y − y + z − z = R 特殊地：球心在原点时方程为 2 2 2 2 x + y + z = R 7.1.2 球面方程 标准方程
王反之,给定三元二次方程 2 e +y+z+ax+by+Cz+d=0 方程可化为 b +(z+C)2 a2+b2+c2-4d (x+)2+(y+ 2 2 4 上(1)当a2+b2+c2-4d>0时,此方程表示一个球面 (2)当a2+b2+c2-4d=0时,此方程表示一个点 3)当a2+b2+c2-4d<O时,此方程表示一个虚球面 牛综上可得书中定理71 上页
反之，给定三元二次方程 2 2 2 x y z ax by cz d + + + + + + = 0 方程可化为 2 2 2 2 2 2 4 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 a b c a b c d x y z + + − + + + + + = 2 2 2 (1) 4 0 当a b c d + + − 时，此方程表示一个球面； 2 2 2 (2) 4 0 当a b c d + + − = 时，此方程表示一个点； 2 2 2 (3) 4 0 当a b c d + + − 时，此方程表示一个虚球面。 综上可得书中 定理7-1
下面给出球面的参数方程 考虑以原点为球心,r为 P 半径的球面。由球面上 2 φLB 点P(x,y,=)作PN与xOy平面 c垂直,再作NA和NB分别与 庄轴和轴垂直。设∠ON=,∠NOP=n则 x=04=ONc9=r890s<2z y=OB=ON sine =rcos p sing,Z < z=NP=OPsin o=rsin 2 2 上页
( , , ) r P x y z PN xoy NA NB x y AON NOP = = 考虑以原点为球心， 为 半径的球面。由球面上一 点 作 与 平面 垂直，再作 和 分别与 轴和 轴垂直。设 ， 。则 下面给出球面的参数方程： P x y z o N r • • A B cos cos cos , 0 2 sin cos sin , sin sin . 2 2 x OA ON r y OB ON r z NP OP r = = = = = = − = = =
王同理,可求得以(x,yn2)为球心的 球面参数方程为 x=xo train cos 6 y=yo +rsin gsin 8, Z=Zo + r CoS p 王向量形式的方程为 牛7=6+m(,9) 上页
0 0 0 sin cos , sin sin , cos . x x r y y r z z r = + = + = + 0 0 0 0 同理，可求得以P x y z ( , , )为球心的 球面参数方程为 0 r r rn = + ( , ) 向量形式的方程为
例2求与原点O及M0(2,3,4)的距离之比为:2的 点的全体所组成的曲面方程 解设M(x,y,z)是曲面上任一点, 根据题意有 1Mo|1 MM0|2 x t ytz (x-2)2+(y-3)2+(z-4)22 所求力方程为(x3)+(+)++9-1 王页下
例 2 求与原点O及 (2,3,4) M0 的距离之比为1: 2 的 点的全体所组成的曲面方程. 解 设M(x, y,z)是曲面上任一点， , 2 1 | | | | 0 = MM MO 根据题意有 ( ) ( ) ( ) , 2 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 = − + − + − + + x y z x y z ( ) . 9 116 3 4 1 3 2 2 2 2 = + + + + 所求方程为 x + y z