上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 解析的等价条件 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析 →(1)f(z)在区域D内可导： 一(2)u,V在区域D内可微，并满足C-R条件； 一(3)u,V在区域D内存在连续一阶偏导，并满足C-R条件； 一(4)在区域D内v是u的共轭调和函数； →(5)f(z)在区域D内可Taylor展开. 台(6)f(z)在区域D内连续且积分与路径无关， 这里D是单连通的。一一Morera定理
( ) u(x, y) iv(x, y) D 1 () D 2 u,v D C R 3 u,v D C R 4 Dvu 5 ( ) D Taylor f z f z f z = + ⇔ ⇔ − ⇔ − ⇔ ⇔ 函数 在区域 内解析 （ ） 在区域 内可导； （ ） 在区域 内可微，并满足 条件； （ ） 在区域 内存在连续一阶偏导，并满足 条件； （ ）在区域 内 是 的共轭调和函数； （ ） 在区域 内可 展开. 解析的等价条件 More 6 () D D ra ⇔（ ）f z 在区域 内连续且积分与路径无关， 这里 是单连通的。—— 定理
上4鱼.2函数展为Taylor级数的方法 SHANGHAI JIAO TONG UNVERSH f(z)=>x(z-20)” 直接法：由Taylor定理直接计算 a, f” n! 间接法：利用函数的各种特殊性以及幂级数的 运算与性质。主要有： (1)利用几何级数、已知级数作代换或四则侧运算； (2)逐项求导、逐项积分； (3)幂级数相乘
4.2.2 函数展为Taylor级数的方法 . ! ( )0 ( ) n f z n 直接法：由Taylor定理直接计算 α n = 间接法：利用函数的各种特殊性以及幂级数的 运算与性质。主要有： (1) 利用几何级数、已知级数作代换或四则运算； (2) 逐项求导、逐项积分； (3) 幂级数相乘. 0 () ( )n n fz z z = − ∑ α
上游充通大学 一些基本展式 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 1 ∑z”,1zk1. n=0 1+z =∑(-10z,zk1. n=0 1 e2=1+z+ 2！ n! sinz= e-- 2n+1 2n 1 +4+(- (2n)1 十… 2
一些基本展式 ( 1) , | | 1. 1 1 , | | 1. 1 1 0 0 = − < + = < − ∑ ∑ ∞ = ∞ = z z z z z z n n n n n 1 1 2 1 ... ...| z | . 2! ! z n e zz z n = + + + + + < +∞ 2 1 0 2 4 2 1 ( 1) sin ( ) . 2 (2 1)! cos 1 ( 1) . 2! 4! (2 )! n iz iz n n n n z ee z i n zz z z n ∞ − + = − = −= + = − + − +− + ∑
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 例：求e在z=0的Taylor展式。 解：用直接展开法，由于 (e)'=e 所以 (e)ml-0=1 因此 1 e =1+z+ 22+.+ 十… 2 n! 因为e2在复平面内处处解析，上式在复 平面内处处成立，收敛半径为o
例：求 在z=0的Taylor展式。 z e 解：用直接展开法，由于 z z (e )'= e 所以 ( ) | 1 0 ( ) z= = z n e 因此 ... ! 1 ... 2! 1 1 2 = + + + + + z n z n e z z 因为 在复平面内处处解析, 上式在复 平面内处处成立, 收敛半径为∞. z e
上游充通大 1 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 例：f(2)=2子-2z+2 在z=0解析， 可展成f(z)=∑cnz”,求cn及收敛半径。 n=0 1 2i 1+i 1- z 1-i 1 1+i 1-i j+,订 2i ++ ""lak
2 0 1 ( ) 0 2 2 () , n n n n f z z z z f z cz c ∞ = = = − + = ∑ 在 解析， 可展成 求 及收敛半径。 例: 0 0 1 1 0 11 1 21 1 1 1 1 11 .|| 2 2 (1 ) (1 ) n n n n n n n n z z ii i i i z z i i i ∞ ∞ = = ∞ + + = =− + ++−− =− + < + − ∑ ∑ ∑ 2 1 11 1 ( ) 2 2 2 (1 ) (1 ) 11 1 1 1 21 1 1 1 1 1 f z z z iz i z i ii i z z i i = = − − + −+ −− =− ⋅ + ⋅ + − − − + − 解：