第三节抽样分布 如何利用样本对总体进行统计推断？一针对不同问题 构造适当的样本函数 一、统计量 *一、经验分布函数 三、抽样分布 四、四个重要定理
一、统计量 *二、经验分布函数 三、抽样分布 四、四个重要定理 第三节 抽样分布 如何利用样本对总体进行统计推断？——针对不同问题 构造适当的样本函数
一、统计量 定义设X,X2,X,n是来自总体X的一个样本， g(X1,X2,Xn)是X1,X2,X,的函数，若g中不含未知参 数，则称g(X,X2,Xm)是一统计量. 若g中含未知参数，则称g(X1,X2,Xn)是枢轴量. 例.X~N(μ，o2),山，o2是未知参数，X1,X2,Xn是 来自总体X的一个样本 x2x.s是2(x-对 统计量 寻2(x-川不是统计量.若4a已知，则为统计立
一、统计量 定 义 设 1 2 , , , X X Xn 是来自总体 X 的一个样本 , 1 2 ( , , , ) n g X X X 是 1 2 , , , X X Xn 的函数，若 g 中不含未知参 数，则称 1 2 ( , , , ) n g X X X 是一统计量. —— 统计量. 1 1 , n i i X X n = = ( ) 2 2 1 1 1 n i i S X X n = = − − ( ) 2 2 1 1 n i i X = − 不是统计量. 若, 已知,则为统计量. 若g中含未知参数，则称 枢轴量. 1 2 ( , , , ) n g X X X 是 2 2 1 2 ~ ( , ) , , , , , . X N X X Xn X 是未知参数， 是 来自总体 的一 例 个样本
几个常见统计量：设X,X,X是来自总体X的一个样本， x1,x2,.,x,是这一样本的观察值. ①样本平均值：=1∑X 2样本方差：s,2x-x,(2-n 样本标准差：S=vS=2(X-广-石 8)样本k阶原点矩：A=之X,k-12, X,= (④)样本k阶中心矩： 4,=1∑X B=1(X,-),k=2,3,. n一 A2x-0=2-x→4
几个常见统计量： 1 2 1 2 , , , X , , , n n X X X x x x 设 是来自总体 的一个样本， 是这一样本的观察值. (1)样本平均值: 1 1 . n i i X X n = = (2)样本方差: 2 2 1 1 ( ) 1 n i i S X X n = = − − 2 2 1 1 . 1 n i i X nX n = = − − 样本标准差: ( ) 2 2 1 1 . 1 n i i S S X X n = = = − − (3)样本 k 阶(原点)矩: 1 1 , 1, 2, . n k k i i A X k n = = = (4)样本 k 阶中心矩: 1 1 ( ) , 2, 3, . n k k i i B X X k n = = − = 2 2 1 1 ( ) n i i B X X n = = − 2 2 1 1 n i i X X n = = − 1 1 2 2 1 1 1 n i i n i i A X X n A X n = = = = = 2 A A B 2 1 2 − =
它们的样本观察值分别为 -I2* 2s-=2m月 -是2-=品2四m a滑2，=12 6-2x-,k=2,3
1 1 ; n i i x x n = = 1 1 , 1,2, ; n k k i i a x k n = = = 1 1 ( ) , 2,3, . n k k i i b x x k n = = − = 2 2 1 1 ( ) 1 n i i s x x n = = − − 2 2 1 1 ; 1 n i i x nx n = = − − 2 1 1 ( ) 1 n i i s x x n = = − − 2 2 1 1 ( ); 1 n i i x nx n = = − − 它们的样本观察值分别为
样本矩与总体矩的关系 A4-2x5,k=1,2,n 定理如果总体X的k阶原点矩E(X)=4存在，则当n→o时， (1)AP→4，k=1,2,L 矩估计法的理论根据 (2)若g是连续函数，则g(A1,4,4)声pg(4,山，4) 证明：(1)因为X(i=1,2,.)独立同分布， E(4)=EX)=2E(x)=4 i1 由辛铁大数定理可得艺X一4 (2)由依概率收敛的序列的性质(P120)可得. 因此，可以用样本矩估计相应的总体矩；用样本矩的连续 函数估计相应的总体矩的连续函数， *二、经验分布函数
矩估计法的理论根据 1 1 , 1, 2, , . n k k i i A X k n n = = = *二、经验分布函数 因此，可以用样本矩估计相应的总体矩；用样本矩的连续 函数估计相应的总体矩的连续函数. 1 ( 1, 2, .) k （ ）因为X i i = 独立同分布， （2）由依概率收敛的序列的性质（P120）可得. 证明： 由辛钦大数定理可得 1 1 ( ) ( ) k n k i i E A E X n = = 1 1 ( ) n k k i E X n = = = 1 1 k n i i X n = P ⎯⎯→k （2）若g是连续函数，则 ( ) k X E X k 定理 如果总体 的k阶原点矩 = → 存在，则当n 时， 1 , 1, 2, P （ ）A k k k ⎯⎯→ = L 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) P k k g A A A g ⎯⎯→ 样本矩与总体矩的关系